ТИПОВЫЕ ЗАКОНЫ РЕГУЛИРОВАНИЯ

ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА № 4

«Определение передаточной функции разомкнутой системы»

по курсу

«Управление в технических системах»

для студентов специальностей

150204, 150106, 150101, 150202

Дневной и заочной форм обучения

Комсомольльск-на-Амуре 2005

УДК 621.742.487

Определение передаточной функции разомкнутой системы: Методические указания к лабораторной работе 4 по курсу “Управление в технических системах”/ Сост. В.В. Куриный.- Комсомольск-на-Амуре: Комсомольский-на-Амуре гос. техн. ун-т, 2007.- 9.

Лабораторная работа содержит варианты заданий по курсам «Управление техническими системами» для студентов специальности 150204, 150106, 150101, 150202.

В пособии приведены примеры решения задач, приведен список литературы.

Печатается по постановлению редакционно-издательского совета Комсомольского-на-Амуре государственного технического университета.

Согласовано со службой стандартизации.

КРИТЕРИЙ ГУРВИЦА

Критерий Гурвица, как и критерий Стодола, определяет устойчивость по характеристическому полиному системы без непосредственного вычисления его корней. Однако критерий Стодола является необходимым критерием устойчивости, но не является достаточным. То есть, если по критерию Стодола система неустойчива, то она действительно является неустойчивой, если по критерию система устойчива, то для подтверждения ее устойчивости требуются дополнительные расчеты. Например, характеристический полином

s³ + s² + 2s + 8

по критерию Стодола соответствует устойчивой системе, однако корни этого полинома равны s₁ = -2, s_2,3 = 0,5 ± j×1,94. То есть система фактически является неустойчивой, хотя коэффициенты полинома положительны.

Критерий Гурвица дает необходимое и достаточное условие устойчивости линейных систем.

Исходной информацией для данного критерия является характеристический полином системы: разомкнутой A(s) или замкнутой D(s) – в зависимости от того, какая система анализируется.

Для определения устойчивости по Гурвицу строится матрица таким образом, чтобы по главной диагонали были расположены коэффициенты ХПЗС с a_n₊₁ по a₀. Справа и слева от нее записываются коэффициенты с индексами через 2 (a₀, a₂, a₄… или a₁, a₃, a₅ …). Тогда для устойчивой системы необходимо и достаточно, чтобы определитель и все главные диагональные миноры матрицы были больше нуля.

Если хотя бы один определитель будет равен нулю, то система будет находиться на границе устойчивости.

Если хотя бы один определитель будет отрицателен, то система неустойчива независимо от числа положительных или нулевых определителей.

ТИПОВЫЕ ЗАКОНЫ РЕГУЛИРОВАНИЯ

Для регулирования объектами управления, как правило, используют типовые регуляторы, которые можно разделить на аналоговые и дискретные. К дискретным регуляторам относятся импульсные, релейные и цифровые. Аналоговые реализуют типовые законы регулирования, названия которых соответствуют названиям типовых звеньев.

Входным сигналом для аналоговых регуляторов является величина ошибки регулирования, которая определяется как разность между заданным и текущим значениями регулируемого параметра (e = х – у). Выходным сигналом является величина управляющего воздействия u, подаваемая на объект управления. Преобразование входного сигнала в выходной производится согласно типовым законам регулирования, рассматриваемым ниже.

1) П-закон (пропорциональное регулирование). Согласно закон пропорционального регулирования управляющее воздействие должно быть пропорционально величине ошибки. Например, если регулируемый параметр начинает отклоняться от заданного значения, то воздействие на объект следует увеличивать в соответствующую сторону. Коэффициент пропорциональности часто обозначают как K₁:

u = K₁^.e.

Тогда передаточная функция П-регулятора имеет вид

W_П(s) = K₁.

Если величина ошибки стала равна, например, единице, то управляющее воздействие станет равным K₁ (см. рисунок 1).

Рисунок 1 Пропорциональный закон регулирования

Примером системы с П-регулятором может служить система автоматического наполнения емкости (сливной бачок) рисунок 2.

Рисунок 2 Система с П-регулятором

Где L и L_зад – текущий уровень в емкости (регулируемая величина) и его заданная величина,

F_пр и F_сток – расходы жидкости притекающей и стекающей из емкости.

Управляющим воздействием является F_пр. F_сток – возмущение.

Принцип действия понятен из рисунка: при опустошении емкости поплавок через кронштейн открывает задвижку подачи жидкости. Причем, чем больше разница уровней е = L_зад – L, тем ниже поплавок, тем больше открыта задвижка и, соответственно, больше поток жидкости F_пр. По мере наполнения емкости ошибка уменьшается до нуля и, соответственно, уменьшается F_пр до полного прекращения подачи. То есть F_пр = K₁^.( L_зад – L).

Достоинство данного принципа регулирования в быстродействии. Недостаток – в наличии статической ошибки в системе. Например, если жидкость вытекает из емкости постоянно, то уровень всегда будет меньше заданного.

2) И-закон (интегральное регулирование). Управляющее воздействие пропорционально интегралу от ошибки. То есть чем дольше существует отклонение регулируемого параметра от заданного значения, тем больше управляющее воздействие:

Передаточная функция И-регулятора:

W_И(s) = .

При возникновении ошибки управляющее воздействие начинает увеличиваться со скоростью, пропорциональной величине ошибки. Например, при е = 1 скорость будет равна K₀ (см. рисунок 3).

Рисунок 3 Интегральный закон регулирования

Достоинство данного принципа регулирования в отсутствии статической ошибки, т.е. при возникновении ошибки регулятор будет увеличивать управляющее воздействие, пока не добьется заданного значения регулируемой величины. Недостаток – в низком быстродействии.

3) Д-закон (дифференциальное регулирование). Регулирование ведется по величине скорости изменения регулируемой величины:

То есть при быстром отклонении регулирующей величины управляющее воздействие по модулю будет больше. При медленном – меньше. Передаточная функция Д-регулятора:

W_Д(s) = K₂ s.

Регулятор генерирует управляющее воздействие только при изменении регулируемой величины. Например, если ошибка имеет вид ступенчатого сигнала е = 1, то на выходе такого регулятора будет наблюдаться один импульс (d-функция). В этом заключается его недостаток, который обусловил отсутствие практического использования такого регулятора в чистом виде.

На практике типовые П-, И- и Д-законы регулирования редко используются в чистом виде. Чаще они комбинируются и реализуются в виде ПИ-регуляторов, ПД-регуляторов, ПИД-регуляторов и др.

ПИ-регулятор (пропорционально-интегральный регулятор) представляет собой два параллельно работающих регулятора: П- и И-регуляторы (см. рисунок 4). Данное соединение сочетает в себе достоинства обоих регуляторов: быстродействие и отсутствие статической ошибки.

ПИ-закон регулирования описывается уравнением

Рисунок 4 Пропорционально-интегральный регулятор

и передаточной функцией

W_ПИ(s) = K₁ + .

То есть регулятор имеет два независимых параметра (настройки): K₀ – коэффициент интегральной части и K₁ – коэффициент пропорциональной.

При возникновении ошибки е = 1 управляющее воздействие изменяется как показано на рисунке 5.

Рисунок 5 Реакция пропорционально-интегрального регулятора на единичное воздействие

ПД-регулятор (пропорционально-дифференциальный регулятор) включает в себя П- и Д-регуляторы (см. рисунок 6). Данный закон регулирования описывается уравнением

Рисунок 6 Схема пропорционально-диференциального регулятора

и передаточной функцией:

W_ПД(s) = K₁ + K₂ s.

Данный регулятор обладает самым большим быстродействием, но также и статической ошибкой. Реакция регулятора на единичное ступенчатое изменение ошибки показана на рисунке 7.

Рисунок 7. Реакция пропорционально-диференциального регулятора на единичное воздействие

ПИД-регулятор(пропорционально-интегрально-дифференциальный регулятор) можно представить как соединение трех параллельно работающих регуляторов (см. рисунок 8). Закон ПИД-регулирования описывается уравнением:

и передаточной функцией

W_ПИД(s) = K₁ + + K₂ s.

ПИД-регулятор в отличие от других имеет три настройки: K₀, K₁ и K₂.

ПИД-регулятор используется достаточно часто, поскольку он сочетает в себе достоинства всех трех типовых регуляторов. Реакция регулятора на единичное ступенчатое изменение ошибки показана на рисунке 9

Рисунок 8 Схема ПИД регулятора

Рисунок 9 Реакция ПИД регулятора на единичное воздействие

Общее задание:

Рисунок 10 Схема одноконтурной АСР

Дана одноконтурная АСР (рисунок 10), для которой определена передаточная функция регулятора (Р) с настройками и дифференциальное уравнение объекта управления (ОУ). Требуется определить:

- передаточную функцию разомкнутой системы W_∞(s),

- характеристическое выражение замкнутой системы (ХВЗС),

- передаточные функции замкнутой системы Ф_з(s) – по заданию,

Ф_в(s) – по возмущению, Ф_Е(s) – по ошибке,

- коэффициенты усиления АСР,

- устойчивость системы.

Пример решения задания

Дан ПИ-регулятор с ПФ вида W_p = 2 +

и объект управления, описываемый дифференциальным уравнением

Определяется передаточная функция объекта:

Тогда передаточная функция разомкнутой системы имеет вид:

ХВЗС:

D(s) = A(s)+ B(s) = 2s⁴ + 3s³+ s² + 2s³ + 9s² + 6s + 1 = 2s⁴ + 5s³ + 10s² + 6s + 1.

Передаточные функции замкнутой системы:

- по заданию,

- по ошибке,

- по возмущению.

По передаточным функциям определяются коэффициенты усиления путем подстановки в них s = 0:

К_з = Ф_з(0) = 1 – по заданию;

К_Е = Ф_Е(0) = 0 – по ошибке;

К_в = Ф_в(0) = 0 – по возмущению.

Устойчивость АСР определяется по критерию Гурвица.

Поскольку коэффициенты ХВЗС а₄ = 2, а₃ = 5, а₂ = 10, а₁ = 6, а₀ = 1 (степень полинома n = 4), то матрица Гурвица имеет вид:

(обратите внимание на сходство строк матрицы: 1 с 3 и 2 с 4). Определители:

Δ₁ = 5 > 0,

Δ₄ = 1* Δ₃ = 1*209 > 0.

Поскольку все определители положительны, то АСР устойчива.

Варианты заданий

Вариант № 1

Р - ПИ-регулятор с ПФ вида W_p = 4 + ;