Здавалка
Главная | Обратная связь

Алгебраїчний критерій стійкості Рауса-Гурвіца



Задача відшукування критерію стійкості для систем, що описуються диференційним рівнянням будь-якого порядку була сформульована Максвелом у 1868 році. Ця задача була вперше вирішена в алгебраїчній формі Раусом у 1873 р. для рівнянь 4-5 порядку і в 1877 році – повністю.

Оскільки критерій Рауса викладений у формі алгоритму, який визначає послідовність математичних операцій необхідних для вирішення задачі, використання його в практиці являється не зручним. Тому більше розповсюдження отримав алгебраїчний критерій стійкості, сформульований у 1895 році математиком А. Гурвіцем. Цей критерій був знайдений Гурвіцем за проханням словацького ученого А. Стодоли, який займався дослідженням процесу регулювання турбін.

Критерій Рауса-Гурвіца полягає в наступному.

Система стійка, якщо діагональний визначник Гурвіца та його мінори . Визначник Гурвіца складається із коефіцієнтів характеристичного рівняння системи і має такий вигляд:

Коефіцієнти відсутні в характеристичному рівнянні системи, що досліджується заміняються нулями. Наприклад, в рівнянні 4-го порядку є тільки коефіцієнти . Тому при його дослідженні коефіцієнти і т.д. приймають рівними 0.

Мінори визначника Гурвіца:

, , .

Формули для визначення стійкості САК за критерієм Гурвіца

(5-порядок): ,

;

(4-порядок) ;

(3-порядок) ;

(2-порядок) ;

(1-порядок) .

Як видно, для рівняння 5-го порядку умова стійкості за критерієм Гурвіца має досить громіздкий вигляд. Тому використання цього критерію практично обмежується рівнянням 4-6 порядку.

Істотним недоліком критерію Гурвіца являється також те, що для рівнянь високого порядку в найкращому випадку можна отримати відповідь про те, стійка чи не стійка система автоматичного регулювання. Якщо система нестійка критерій не дає відповіді на те, яким чином потрібно змінити параметри системи, щоб зробити її стійкою.







©2015 arhivinfo.ru Все права принадлежат авторам размещенных материалов.