Здавалка
Главная | Обратная связь

Задача об устойчивости положения равновесия и стационарного движения механической системы.



Лекция 1

Введение.

Теория устойчивости движения является самостоятельным разделом аналитической механики. Она появилась и развилась в результате решения и обобщения задач о равновесии механической системы. В связи с этим особенно важно прикладное значение теории устойчивости в механике. Корабль, самолёт, космическая ракета должны устойчиво сохранять заданный курс. Турбины, генераторы, автоматические системы должны устойчиво сохранять заданный режим работы. Однако, современное значение теории устойчивости намного шире и сейчас столь же важное место она занимает не только в механике, физике, астрономии, химии, но даже в экономике и в биологии, и вообще в любой другой науке, в которой основные процессы описываются дифференциальными уравнениями.

А пока дифференциальные уравнения, понимаемые в современном научном смысле, являются основным математическим аппаратом естествознания, актуальность исследования на устойчивость бесспорна, а соответствующая теория должна стать предметом высшего технического образования.

 

 

Задача об устойчивости положения равновесия и стационарного движения механической системы.

§1. Равновесие системы.

Среди всевозможных движений, которые способна совершать механическая система, могут быть такие, которые характеризуются постоянством всех обобщённых координат, задающих положение системы, если в некоторый момент времени, принимаемый за начальный, их производные (т.е. обобщённые скорости) были равны нулю. В этом случае говорят, что при

 

 

где - независимые обобщённые координаты системы, рассматриваемая механическая система находится в равновесии, что в разных задачах может соответствовать либо «абсолютному», либо «относительному» покою системы.

Задача эта ставится отдельно в связи с тем, что в общем случае мы не умеем интегрировать дифференциальные уравнения, описывающие всякое движение исследуемой механической системы. Если бы мы умели всегда решать эту задачу, т.е. умели бы получать общее решение соответствующих дифференциальных уравнений в виде

 

, (1)

 

то не возникало бы необходимости ставить задачу о равновесии отдельно, поскольку она получалась бы простым исследованием функций (1), которые, как правило, оказываются неизвестными.

Желая что-то знать о движении системы, естественно обратиться сначала с тем её движениям, которые отыскиваются наиболее просто. Таковы вкратце причины, заставляющие ставить отдельно эту задачу.

Задача об отыскании таких «движений» решается в аналитической механике с помощью принципа возможных перемещений, согласно которому необходимым и достаточным условием равновесия голономной механической системы со стационарными связями (пока рассмотрим такие системы) являются равенства нулю всех обобщённых сил в положении равновесия, т.е.

 

(2)

 

С математической точки зрения, написанные равенства представляют собой систему k уравнений (в общем случае трансцендентных) для отыскания k неизвестных величин (чисел) , определяющих положение равновесия (покоя) системы и являющихся функциями параметров системы (масс точек, длин, коэффициентов жёсткости пружины, моментов инерции и т.д.).

В некоторых случаях обобщённые силы могут зависеть и от обобщённых скоростей, т.е.

 

Тогда уравнение (2) должно быть записанным в виде

 

 

т.е. все должны быть положены равными нулю.

Если силовое поле системы потенциально, т.е. существует силовая функция (или потенциальная функция , называемая потенциальной энергией системы), то вследствие того, что

 

 

условия равновесия записываются в виде

 

 

Таким образом, необходимым и достаточным условием равновесия голономной системы, находящейся в потенциальном силовом поле, является условие существования стационарного значения силовой функции.

Не следует смешивать это условие с условием существования максимума или минимума. Здесь возможен любой из трёх случаев.

 

 

Самым тривиальным примером является физический (математический) маятник (рис. 2), представляющий систему с одной степенью свободы, которая кроме колебательных и вращательных движений, определяемых изменением лишь одной координаты , может находиться в равновесии при и . Причём в зависимости от геометрии масс тела возможны все три случая стационарного значения

потенциальной энергии.

Конечно, не всегда положение равновесия системы (даже с одной степенью свободы) можно указать сразу, как в приведённом тривиальном примере. В этом нас убеждает такой несложный случай (рис. 3). Система состоит из стержня, могущего вращаться вокруг точки B и несущего на своём конце C блок, через который перекинута нить AD, на конце D которой закреплён груз P. Система вообще может совершать сложные движения, характеризуемые изменением двух обобщённых координат – углов и , среди которых имеется три положения равновесия, в которых , а угол принимает соответственно значения и . Если стержень невесомый, то решение для получается весьма изящным: Угол должен быть таким, чтобы треугольник ABC был равнобедренным. Этот результат можно получить из рассмотрения силовой функции задачи , т.е. решая уравнение

 

 

Ещё более сложно обстоит дело в центре нахождения относительного равновесия спутника, центр масс которого обращается по круговой орбите в центральном ньютоновском поле сил (рис. 4). Вследствие того, что на все точки спутника действуют разные силы притяжения (из-за их разной удалённости от притягивающего центра), то, несмотря на малость их градиента, они вызывают сложные движения спутника вокруг центра масс, как вокруг неподвижной точки. Среди множества этих движений существуют такие, в которых спутник находится в покое относительно так называемой орбитальной системы координат, одна из осей которой направлена по радиус-вектору центра масс, вторая - по скорости (по касательной к орбите) и третья – по бинормали к орбите. Причём, чтобы спутник находился в покое относительно указаний системы координат, его главные оси инерции должны быть направлены по осям орбитальной системы. Существование этого положения равновесия также доказывается существованием стационарного положения силовой функции U, выраженной через углы Эйлера, , т.е.

.

 

§2.Постановка задачи об устойчивости положения равновесия. Определение устойчивости положением равновесия по Ляпунову.

Итак, для того чтобы механическая система, обладающая положением равновесия, находилась в нём, её координатам необходимо точно придать значение , при этом все скорости должны быть строго равны нулю. Однако совершенно ясно, что практически невозможно добиться абсолютной точности в исполнение этих требований. Таким образом, желая «поместить» систему в положение равновесия, мы на самом деле будем это делать всегда с некоторой погрешностью, в результате чего как координаты, так и скорости будут отличаться (пусть весьма мало) от своих равновесных значений. Обозначим эти отклонения соответственно через и , так что

 

.

 

Теперь совершенно естественно возникает следующая задача. Как будут вести себя отклонения и с течением времени, если в начальный момент они не все были равны нулю. Представляется (чисто интуитивно), что ответить на этот вопрос тем легче, чем меньше по модулю начальные отклонения. Заметим опять, что в постановке и этой (следующей за равновесием задачи) не было бы никакой необходимости, если бы мы умели интегрировать систему дифференциальных уравнений, описывающих всякое движение (а, следовательно, и вблизи положения равновесия) нашей системы.

Итак, даже считая начальные отклонения весьма малыми, следует ожидать два ответа на поставленный вопрос:

1. модули величин и никогда не превысят некоторого достаточно малого числа , которое будем тем меньше, чем меньше начальные отклонения , .

2. как бы малы ни были взяты начальные отклонения , , наступит такой момент времени , что модули величин , при станут больше некоторого (пусть достаточно малого) числа . Причём добиться последующей малости отклонений нельзя никаким уменьшением модулей , .

Другими словами, можно сказать, что если в первом случае начальные отклонения (или, как чаще говорят, начальные возмущения) от положения равновесия с течением времени не возрастают неограниченно, то во втором случае система с течением времени уходит от положения равновесия, как бы малы ни были начальные возмущения. В первом случае положение равновесия называют – устойчивым, во втором случае – неустойчивым. Как известно, существуют как устойчивые, так и неустойчивые положения равновесия. Иногда, меняя значения параметров одной и ой же системы, положение равновесия можно сделать устойчивым или неустойчивым по нашему желанию. Например (рис. 5), вертикальное расположение центра тяжести C, изображённого на рисунке тела может быть устойчивым или неустойчивым в зависимости от того, каковы соотношения между жесткостями пружин, расстоянием OC и а и моментом инерции тела А относительно оси вращения О. Ниже мы рассмотрим подробно как устойчивые, так и неустойчивые положения равновесия.

На основании проведённых рассуждений можно дать следующее определение устойчивому и неустойчивому положению равновесия, в терминах возмущений , помня, что в положении равновесия

Определение. Состояние равновесия называется устойчивым, если для наперед заданного достаточно малого положительного числа найдётся такое положительное число , что для всех будут удовлетворяться неравенства г , если выполнены неравенства при .

Данное определение устойчивости называется устойчивостью по Ляпунову в отличие от других определений, не получивших столь большого значения (устойчивость по Лагранжу, устойчивость по Пуассону, устойчивость по Биркгофу и т.д.).

Важно подчеркнуть, что в качестве начального возмущения может быть взята любая точка окрестности или другими словами – нет ни одной точки в данной окрестности, которая не обладала бы указанным свойством.

Приведённому определению можно дать следующую геометрическую интерпретацию (рис. 6): рассмотрим 2k-мерное эвклидово пространство, называемое пространством состояний или фазовым пространством. Начало координат системы , являются положением (состоянием) равновесия системы. Рассмотрим окрестность начала координат, окружённую 2k-мерной сферой радиуса , уравнение которой будет

 

.

 

Из уравнения сферы следует, что фазовые координаты , любой точки, взятой внутри шара, ограниченного рассматриваемой сферой, по модулю не могут превысить радиуса сферы , т.е. внутри этого шара имеем . Аналогично имеем внутри сферы радиуса

 

 

Определение устойчивости означает, что все траектории исходящие из шара радиуса , никогда не достигнут сферы радиуса .

Определение. Состояние равновесия называется неустойчивым, если как бы мало ни было взято положительное число , всегда найдётся хотя бы одна система чисел

,

таких, что при некотором значении времени будет выполняться хотя бы одно из равенств

как бы мало ни было взято положительное число .

Согласно данному определению, неустойчивым будет уже такое равновесие, для которого внутри сферы радиуса существует хотя бы одна точка с координатами , исходя из которой траектория фазового пространства в некоторый момент пересечёт сферу радиуса (рис. 7).

В приведённом определении устойчивости ничего не говорится о том, как конкретно находить движения по «возмущённым» траекториям, начинающимся вблизи положения равновесия.

Однако в технических приложениях это иногда важно знать. Обычно выделяют два принципиально различных случая. В одном случае может оказаться, что выведенная из равновесия система всё время будет находиться вблизи него без всякой тенденции нуклонного приближения к этому положению, т.е. максимальные отклонения от положения равновесия не будут монотонно уменьшаться с течением времени. Примером могут служить колебания маятника вблизи устойчивого положения равновесия. С другой же стороны, возможен и такой случай, когда максимальные отклонения системы от положения равновесия с течением времени будут неуклонно уменьшаться и система будет всё ближе и ближе подходить к положению равновесия. Именно такой характер будут носить колебания маятника при наличии сил трения (которые в действительности всегда существуют). В первом случае говорят об обычной устойчивости; устойчивость же во втором случае называют асимптотической. В случае асимптотической устойчивости изменения возмущений характеризуются следующими соотношениями

 

,

 

если только .

 

В некоторых задачах оказывается введение полезным введение понятия условной устойчивости, которая определяется следующим образом:

Положение равновесия называется условно устойчивым, если оно устойчиво лишь для множества начальных возмущений, подчиненных условиям

 

и

При этом, для всех других начальных возмущений, взятых внутри шара радиуса , может быть либо неустойчивость, либо вопрос об устойчивости остаётся открытым.

Таким образом, для факта условной устойчивости достаточно наличия внутри шара радиуса либо шарового сектора, либо поверхности, все точки которой принадлежат устойчивым траекториям (рис. 8).

 

Лекция 2.

§3. Признаки устойчивости положения равновесия.

Теорема Лагранжа-Дирихле. Идея второго метода Ляпунова.

 

Перейдём теперь к рассмотрению методов решения задачи об устойчивости равновесия. Напомним ещё раз, что в тех случаях, когда дифференциальные уравнения системы интегрируются, эта задача может быть решена исследованием функций, дающих общий интеграл дифференциальных уравнений. Как мы указывали, однако, этот прямой путь решения задачи оказывается в большинстве случае непригодным из-за непреодолимых математических трудностей, встающих на пути интегрирования нелинейной системы дифференциальных уравнений. В связи с этим усилия механиков были и были направлены на разыскание иных методов, не требующих интегрирования дифференциальных уравнений. В этих методах, развитых в основном Лагранжем, Раусом, Ляпуновым и Пуанкаре, используются либо свойства функций, представляющих правые части дифференциальных уравнений, либо их первые интегралы, если они имеются.

К последней группе методов и относится замечательная теорема Лагранжа, явившаяся обобщением барицентрического критерия устойчивости Торичели и дающая достаточный признак устойчивости положения равновесия консервативной механической системы. Позже эта теорема была строго доказана Лежен-Дирихле.

Теорема Лагранжа. Пусть дана механическая система со стационарными связями и силовое поле потенциально и стационарно. Пусть независимые обобщённые координаты системы, так что кинетическая энергия T имеет вид

 

Напомним, что T является знакоопределённой положительной функцией обобщённых скоростей , т.е. лишь при , а при всех других значениях имеем .

Пусть система обладает положением равновесия , , т.е. являются решением системы уравнений

 

,

 

где - является потенциальной энергией системы. Тогда теорема Лагранжа может быть сформулирована следующим образом.

Если в положении равновесия консервативной механической системы потенциальная энергия имеет изолированный (строгий) минимум, то такое положение равновесия устойчиво (в смысле Ляпунова).

Замечание. Из формулировки теоремы следует, что она даёт лишь достаточный признак устойчивости, ибо в теореме ничего не утверждается относительно устойчивости или неустойчивости равновесия в случае отсутствия изолированного минимума (например, положение max.) потенциальной энергии. Это обстоятельство побудило многих учёных заняться вопросом так называемого «обращения теоремы Лагранжа», т.е. вопросом о том, всегда ли отсутствие минимума означает неустойчивость равновесия. На этом мы остановимся более подробно в дальнейшем.

Доказательство. Перейдем от обобщённых координат к возмущениям по формулам

,

Тогда получим

,

 

Так как потенциальная энергия П выбирается с точностью до аддитивной постоянной, то можем считать, что .

Из условия теоремы следует, что в достаточно малой окрестности G положение равновесия потенциальная энергия является строго положительной функцией своих переменных (будем ещё считать её непрерывной) т.е.

 

, если .

 

Введём 2n-мерное фазовое пространство . Начало 2n-мерной «прямоугольной» системы координат поместим в состояние равновесия. Тогда в силу указанных свойств кинетической и потенциальной энергий их сумма

,

 

представляющая полную энергию системы также будет иметь изолированный минимум в некоторой окрестности начала координат (состояние равновесия). Действительно только в том случае, когда все и равны нулю.

Мы будем также предполагать, что Е является непрерывной функцией всех своих переменных. Заметим, что из стационарности системы следует существование интеграла энергии.

 

, (1)

 

где

 

Нам надо доказать, что всегда можно найти достаточно малое положительное число , такое, что если в начальные моменты будут выполняться неравенства

 

где – сколь угодно малое положительное число, то в процессе всего дальнейшего движения системы будем иметь строгие неравенства

 

.

 

Построим с центром в начале координат 2k-мерную сферу

 

 

Очевидно множество всех координат , удовлетворяющих написанному уравнению, являются замкнутыми и ограниченными, а потому полная энергия E, как непрерывная функция, достигает на этом множестве своего минимального и максимального значения, так что

 

(2)

 

Причём , т.к. в начале координат E достигает абсолютного максимума.

Опишем из начала координат ещё одну сферу весьма малого радиуса . Для множества значений , , удовлетворяющих неравенству

 

,

 

являющегося также замкнутым и ограниченным множеством (множеством точек внутри шара), аналогично имеем

 

,

 

где - значение полной энергии для точек, расположенных внутри шара.

В силу непрерывности E величину всегда можно выбрать столь малой (в зависимости от заданного значения ), что будет

 

.

 

Беря теперь начальные значения , из шара радиуса , мы будем иметь

 

Но поскольку выполняется закон сохранения энергии (1), то все последующее время должно быть

 

(3)

 

Но это и означает, что ни одно из переменных по модулю не превысит . Действительно, если бы это случилось, то E должно было бы удовлетворять неравенству (2), что противоречит последнему неравенству и, следовательно, невозможно.

Таким образом, всякая траектория выходящая из шара радиуса , никогда не достигнет сферы радиуса , что и требовалось доказать.

Замечание. В первом строгом доказательстве этой теоремы, принадлежащем Лежен-Дирихле, не использовался факт существования изолированного минимума у полной энергии E, в расширенном 2k-мерном пространстве, за счёт чего устойчивость доказывалась только непосредственно к возмущениям координат. Изложенная идея доказательства, высказанная Пуанкаре, позволяет сразу доказать устойчивость по отношению ко всем фазовым координатам. Но самое главное это то, что в этом доказательстве непосредственно прослеживается идея второго метода Ляпунова, дающего самый общий критерий устойчивости равновесия.

 

Идея второго метода Ляпунова.

 

Теорема Лагранжа, кроме того, что даёт лишь достаточный признак устойчивости, обладает ещё одним существенным недостатком: её применение ограничено лишь довольно узким классом консервативных механических систем, т.е. таких, для которых полная энергия E, рассматриваемая как непрерывная функция фазовых координат, оказывается постоянной. Это означает, что полная производная по времени от E равная

 

 

обращается в нуль, если вместо и подставить те их функции от t, которые удовлетворяют дифференциальным уравнениям движения системы. Такие производные называют производными в силу дифференциальных уравнений.

Для неконсервативных систем , и E не остаётся постоянной и следовательно теорема Лагранжа, казалась бы, неприменима. Однако в процессе доказательства нам бы нисколько не помешал факт убывания полной энергии E , т.е. наличие неравенства . Действительно в доказательстве изменилось бы лишь одно соотношение. Вместо (3) мы бы имели

 

,

 

что опять не позволяет ни одной из фазовых координат по модулю стать равной .

Можно пойти и ещё дальше. Далеко не во всех случаях полная энергия E имеет изолированный минимум в положении равновесия, что является неотъемлемым условием теоремы Лагранжа, и если оно не выполняется, ничего поправить в доказательстве нельзя. Но представим себе, что нам известна некоторая функция фазовых переменных, пусть не имеющая ясного физического смысла, но обладающая свойством наличия у неё изолированного минимума в положении равновесия. Пусть ещё, кроме того, её полная производная по времени в силу дифференциальных уравнений

 

 

т.е. на всех траекториях системы функция V не возрастает. Тогда повторив без всяких изменений доказательство теоремы Лагранжа для функции V, мы также придем к факту устойчивости положения равновесия.

Итак, можно сформулировать следующую теорему Ляпунова об устойчивости состояния равновесия:

Если существует функция , имеющая в положении равновесия механической системы изолированный минимум, и такая, что её полная производная по времени в силу дифференциальных уравнений движения не положительная, то рассматриваемое положение равновесия устойчиво.

В этом и заключается идея знаменитого второго (прямого) метода Ляпунова, в котором не используется ни решение системы, ни её первые интегралы, а только лишь сами дифференциальные уравнения, определяющие изменения и .

Ценностью этого метода является его почти безграничная общность, хотя ей же этот метод обязан и основным недостатком: в теореме ничего не говорится о том, как найти такую функцию (в отдельных случаях это может оказаться и неосуществимой задачей). Однако в целом метод Ляпунова обладает огромной эвристической ценностью. Сам Ляпунов для некоторых случаев дал рецепты построения такой функции V. С помощью этого метода другими механиками также были решены многие важные задачи устойчивости в современной технике.

 

Коэффициенты устойчивости Пуанкаре.

Рассмотрим случай, когда потенциальная энергия консервативной системы является аналитической функцией, по крайней мере, в достаточно малой окрестности положения равновесия. Разложим её в ряд Тейлора в окрестности равновесия, полагая :

 

Полагая , отбрасывая постоянную П(0) и учитывая, что в положении равновесия , получим

 

где - форма m-ой степени.

 

Теорема. Если П2(x) – знакоопределённая форма, то выбором достаточно малой окрестности положения равновесия можно добиться, чтобы и П(х) была знакоопределённой того же знака для всех .

Положим . Очевидно (система сферических координат в Еп).

.

 

Функция в силу своей непрерывности на замкнутом ограниченном множестве достигает своей нижней и верхней границ, откуда . Имеем

 

 

По условию . Уменьшением на r, очевидно можно добиться, чтобы

.

Критерий Сильвестра

(условие знакоопределённой квадратичной формы).

Квадратичная форма знакоопределённая тогда и только тогда, когда все её диагональные миноры строго положительные.

 

, , .

 

Та же форма определённо отрицательна, если

 

, , , ...

 
 


т.е.

 

В линейной алгебре показывается, что всякая квадратичная форма посредством линейного преобразования переменных может быть записана в каноническом виде

 

где являются корнями (собственными значениями матрицы) векового уравнения

 

 

что можно записать короче: ( - символ Кронекера) или так: , (Е – единичная матрица).

Числа называются коэффициентами устойчивости Пуанкаре. В терминах коэффициентов Пуанкаре теорему Лагранжа можно записать так:

1. Если все коэффициенты устойчивости положительны, то равновесие консервативной системы устойчиво.

2. Если среди есть хотя бы один отрицательный, равновесие неустойчиво (обращение Четаева теоремы Лагранжа).

Если среди есть нулевая, вопрос об устойчивости не решается формой П2 и требует, вообще говоря, рассмотрения членов более высокого порядка малости.

Число отрицательных коэффициентов называется степенью неустойчивости.


Пример 1. Устойчивость точки либрации в поле двух неподвижных центров.

 

Рассмотрим равновесие точечной массы m, находящейся в поле двух неподвижных точечных масс m1 и m2 , действующих на точку m c силами, являющимися степенными функциями расстояния, т.е.

 

или (i = 1, 2)

 

Пусть - расстояние между точками. Тогда потенциальная энергия поля будет ( )

 

Введём безразмерное расстояние и безразмерную массу .

Отбрасывая несущественный положительный множитель получим,

 

Условие равновесия запишется так

 

 

Отсюда

 

Для устойчивости достаточно, чтобы

 

 

Выражение в квадратных скобках всегда положительно. Следовательно, равновесие устойчиво, если , т.е. либо , либо . Последний случай соответствует отталкиванию с силой обратно пропорциональной n-ой степени расстояния. Таким образом, случай ньютоновоского притяжения не удовлетворяет достаточным условиям устойчивости, и если бы мы захотели иметь постоянную орбитальную станцию между Землёй и Луной, то это положение было бы неустойчивым даже при учёте факта вращения Луны.

Впервые на неустойчивость этих точек в круговой задаче трёх тел (так называемых коллинеарных точек либрации) указал Лиувилль.

Этот пример можно усложнить, предположив, что В (Луна) вращается относительно А (Земли) с постоянной угловой скоростью . Тогда, если во вращающейся системе координат относительная скорость точки m будет равна нулю, то будет равна нулю и кориолисово ускорение. Переносная сила инерции будет равна

 

К потенциальной энергии добавляется слагаемое

 

Тогда

 

и соответственно

 

Используя условия равновесия, квадратную скобку можно привести к виду

, что всегда > 0

 

Следовательно, получаем то же самое условие устойчивости

 

Пример 2. Устойчивость вертикального равновесия двойного маятника.

Исследуем устойчивость вертикального положения двойного маятника, имеющего массы m1, m2 и длины l1, l2 (рис. 10).

К стержням прикреплены спиральные пружины, ненапряжённые в положении равновесия, т.е. при .

Составим потенциальную энергию системы :

 

 

Или, раскладывая в ряд,

 

 

 

 

Составляя матрицу, будем иметь

 

 

Подставляя, получим

 

т.е.

 

 

Обозначим и рассмотрим границы области устойчивости

 

Соответствующие им кривые имеют вид, изображённый на рис. 11.

В заштрихованной области выполняются сразу оба неравенства устойчивости.


Лекция 3.

§ Стационарные движения.

Стационарные движения механической системы можно рассматривать как некоторое обобщение задачи о её равновесии. Если в положении равновесия все обобщенные координаты сохраняют постоянные значения, то в стационарном движении постоянны лишь некоторые из них, в то время как другие изменяются каким-то образом, т.е.

 

...........................

 

Такие движения могут представлять определённый интерес, как в технике, так и механике.

Простейший пример стационарного движения даёт нам задача о движении материальной точки в центральном ньютоновском силовом поле (рис. 12). Среди всевозможных движений, характеризующихся изменением обеих обобщённых координат и (эллипс и гипербола) существуют такие, в которых изменяется лишь одна координата , в то время как другая, остаётся неизменной . Траекторией такого стационарного движения является окружность радиуса .

Из приведённого примера видно, что свойство стационарности зависит от выбора обобщённых координат. Действительно, то же круговое движение не является стационарным относительно обычных прямоугольных координат x, y, которые при движении по окружности будут меняться по закону

 

,

 

Наоборот «нестационарные» в полярной системе координат эллиптические или гиперболические движение будет стационарным в другой криволинейной системе координат – «эллиптической», определяемой посредством формул

 

Координатными линиями такой системы являются софокусные эллипсы и гиперболы (рис. 13).

Стационарное эллиптическое движение можно охарактеризовать неизменностью координаты и каким-то (произвольным) изменением координаты . При , имеем стационарное гиперболическое движение.

Таким образом, отыскивать стационарное движение – это прежде всего указать систему соответствующих координат, в которой оно является стационарным.

Многочисленные примеры стационарных движений дают системы автоматического регулирования заданного режима работы какого-либо объекта. Это, например, САР режима работы реактора, САР заданного режима полёта самолёта или ракеты (автопилот) и т.д. Первой, поставленной техникой, задачей исследования работы САР была задача о работе центробежного регулятора подачи пара в паровую машину.

При номинальной (расчётной) угловой скорости вращения вала двигателя система двигатель – регулятор совершает стационарное движение, в котором координата регулятора сохраняет постоянное значение , в то время как другая координата .

Изменение угловой скорости вала двигателя, вызываемое изменением нагрузки, выводит систему из состояния стационарного движения, угол меняется, в результате чего меняется количество пара, подаваемого на двигатель.

Рассматриваемый пример является типичным для всякой САР, которая в расчётном (невозмущённом) режиме работы совершает стационарное движение.

К сожалению, не существует общего метода нахождения стационарных движений для любой механической системы. Однако во многих случаях можно всегда ответить на вопрос – возможен ли данный тип стационарного движения или нет. Поскольку всякое стационарное движение

 

, ,

 

является частным решением системы дифференциальных уравнений, описывающих любое движение системы, то оно должно удовлетворять указанной системе уравнений. Пусть эта система такая, что может быть разрешена относительно стационарных производных

 

 

Тогда, учитывая, что , будем иметь следующие уравнения для определения значений

 

 

 

Поскольку функции нам заранее неизвестны, то в общем случае решить эту систему относительно не представляется возможным. Наиболее часто встречающиеся на практике случаи стационарных движений характеризуются постоянством не только координат , но и производных . Тогда написанные уравнения являются алгебраическими (нелинейными в общем случае) относительно величин и и могут иметь (а могут и не иметь ни одного) какие-то решения.

В наиболее общем виде теория стационарных движений была разработана Раусом для голономных консервативных систем, к изложению которой мы и придём.

 

Уравнения Рауса и стационарные движения.

 

Рассмотрим консервативную механическую систему с голономными идеальными связями. Из консервативности следует, что стационарны как связи, так потенциальное поле. Пусть положение системы определяется n независимыми обобщёнными координатами, из которых n-m являются циклическими, т.е. Лагранжиан L зависит явно только от первых m координат, т.е.

Как известно, в этом случае система уравнений допускает существование n-m циклических интегралов, имеющих вид

, (4)

 

Существование этих интегралов позволяет свести исходную задачу об интегрировании систем уравнений Лагранжа 2n-го порядка к задаче об интегрировании системы уравнений Лагранжа низшего порядка, а именно 2m-го, т.е. другими словами понизить исходную систему на 2(k-m) единиц (удвоенное число циклических координат). Это можно сделать непосредственным исключением циклических скоростей в уравнениях Лагранжа для нециклических координат с помощью уравнений (4). Рассмотрим более подробно структуру этих уравнений.

Так как связи стационарны, то имеем

 

 

Определитель ни при каких значениях и, кроме того, не равен нулю ни один диагональный минор этого определителя. Запишем эту сумму в виде двух сумм

 

 

и, ещё раз разбивая суммы от 1 до n:

 

В первую и последнюю сумму входят соответственно произведения только позиционных и только циклических скоростей. Два средних члена представляют собою смешанные произведения циклических и нециклических скоростей. Эти суммы равны друг другу, т.к. последнему произведению из первой суммы соответствует произведения с равными коэффициентами вследствие свойства симметрии матрицы коэффициентов кинетической энергии. Таким образом

(5)

 

т.е. коэффициент ½ при сложении сумм исчезает. Выражения (4) будут иметь вид

 

Первое слагаемое представляет собою функцию только от циклических скоростей, второе же только от нециклических. Определитель является одним из диагональных миноров определителя исходного выражения кинетической энергии и поэтому отличен от нуля.

Следовательно полученная линейная неоднородная система относительно циклических скоростей имеет единственное решение вида

 

(6)

 

здесь и в общем случае некоторые функции обобщенных позиционных координат.

Заметим, что при отсутствии в исходном выражении кинетической энергии смешанных (циклических на нециклические) произведений скоростей, все коэффициенты (гироскопически несвязанные системы).

Для гироскопически несвязанной системы матрица является обратной для матрицы части кинетической энергии для циклических скоростей

 

Действительно, циклические интегралы в этом случае имеют вид

 

или

( ). Тогда , где , т.е. . Эта же матрица будет матрицей ф.

Полученное выражение для циклических скоростей (6) можно подставить в уравнения Лагранжа для позиционных координат

,

 

и если решение этой системы каким-либо способом будет найдено, т.е. будут найдены функции

,

 

то выражения в функции времени для циклических координат , 12Следующая ⇒







©2015 arhivinfo.ru Все права принадлежат авторам размещенных материалов.