 |
|
Тема: «Показатели вариации и способы их расчета».
1. Понятия и показатели вариации.
2. Правило сложения дисперсий
Любая статистическая совокупность состоит из единиц, значения признака которых варьируют.
Вариация — это различие в значениях какого-либо признака у разных единиц данной совокупности в один и тот же период или момент времени. Вариация возникает в результате того, что индивидуальные значения признака складываются под совокупным влиянием разнообразных факторов (условий), которые по-разному сочетаются в каждом отдельном случае. Например, работники фирмы различаются по доходам, затратам времени на работу, росту, весу, любимому занятию в свободное время и т.д.
Исследование вариации в статистике имеет большое значение, помогает познать сущность изучаемого явления. Особенно актуально оно в период формирования многоукладной экономики. Измерение вариации, выяснение ее причины, выявление влияния отдельных факторов дает важную информацию (например, о продолжительности жизни людей, доходах и расходах населения, финансовом положении предприятия и т.п.) для принятия научно обоснованных управленческих решений.
Для характеристики совокупностей и исчисленных величин важно знать, какая вариация изучаемого признака скрывается за средним показателем.
Средняя величина дает обобщающую характеристику признака изучаемой совокупности, но она не раскрывает строения совокупности, которое весьма существенно для ее познания. Средняя не показывает, как располагаются около нее варианты осредняемого признака, сосредоточены ли они вблизи средней или значительно отклоняются от нее. Средняя величина признака в двух совокупностях может быть одинаковой, но в одном случае все индивидуальные значения отличаются от нее мало, а в другом - эти отличия велики, т.е. в одном случае вариация признака мала, а в другом — велика, это имеет весьма важное значение для характеристики надежности средней величины.
Чем больше варианты отдельных единиц совокупности различаются между собой, тем больше они отличаются от своей средней, и наоборот, — чем меньше, варианты отличаются, друг таком случае будет более реально представлять всю совокупность.
Вот почему ограничиваться вычислением одной средней в ряде случаев нельзя. Нужны и другие показатели, характеризующие отклонения отдельных значений от общей средней.
Это можно показать на таком примере. Предположим, что одинаковую работу выполняют две бригады, каждая - из трех человек. Пусть количество деталей, шт., изготовленных за смену отдельными рабочими составляло:
в первой бригаде — 95, 100, 105 ( 
1= 100 шт.);
во второй бригаде — 75, 100, 125 ( 
= 100 шт.).
Средняя выработка на одного рабочего в обеих бригадах одинакова и составляет х1 =х2 = 100шт., однако колеблемость выработки отдельных рабочих в первой бригаде значительно меньше, чем во второй.
Поэтому возникает необходимость измерять вариацию признака в совокупностях. Для этой цели в статистике применяют показатели вариации.
К показателям вариации относятся: размах вариации, среднее линейное отклонение, дисперсия и среднее квадратическое отклонение, коэффициент вариации.
Самым элементарным показателем вариации признака является размах вариации (R), представляющий собой разность между максимальным и минимальным значениями признака в изучаемой совокупности:
R= xmax – xmin
В нашем примере размах вариации сменной выработки деталей составляет: в первой бригаде R = 10 шт. (т.е. 105 - 95); во второй бригаде — R= 50 шт. (т.е. 125 - 75), что в 5 раз больше.
Это свидетельствует о том, что при численном равенстве средняя выработка первой бригады более "устойчива". Размах вариации может служить базой расчета возможных резервов роста выработки. Таких резервов больше у второй бригады, поскольку в случае достижения всеми рабочими максимальной для этой бригады выработки деталей, ею может быть изготовлено 375 шт., т.е. (3x125), а в первой – только 315 шт., т.е. (3 х 105).
Однако размах вариации показывает лишь крайние отклонения признака и не отражает отклонений всех вариантов в ряду. При изучении вариации нельзя ограничиваться только определением ее размаха. Для анализа вариации необходим показатель, который отражает все колебания варьирующего признака и даёт обобщённую характеристику. Простейший показатель такого типа — среднее линейное отклонение.
Среднее линейное отклонение ( 
) представляет собой среднюю арифметическую абсолютных значений отклонений отдельных вариантов от их средней арифметической (при этом всегда предполагают, что среднюю вычитают из варианта: (х - ).
Среднее линейное отклонение рассчитывается по формуле:
1. для несгруппированных данных:
где п — число членов ряда;
2. для сгруппированных данных:
где 
— сумма частот вариационного ряда.
В формулах разности в числителе взяты по модулю, (иначе в числителе всегда будет ноль — "0" — алгебраическая сумма отклонений вариантов от их средней арифметической). Поэтому среднее линейное отклонение как меру вариации признака применяют в статистической практике редко (только в тех случаях, когда суммирование показателей без учета знаков имеет экономический смысл). С его помощью, например, анализируется состав работающих, ритмичность производства, оборот внешней торговли.
Пример 1: Рассмотрим расчет средне линейного отклонения для несгруппированного признака по данным таблицы 1.
| Номер фирмы | Выпущено продукции за год, т.р. |
| Итого |
Это означает, что в среднем каждый выпуск продукции в изучаемой совокупности фирм отклоняется от среднего выпуска на 75 тыс. руб.
Пример 2: Расчет среднего линейного отклонения по сгруппированному признаку
| Группы рабочих по выработке изделий, шт. | Код строки | Число пред- приятий, 
| Середина интервала, 
| Произведение
*
| 
| 
|
| А | Б | |||||
| 170-190 | ||||||
| 190-210 | ||||||
| 210-230 | ||||||
| 230-250 | ||||||
| Итого | - |
=1360 и 
Это означает, что в среднем выработка изделий каждого рабочего в изучаемой совокупности отклоняется от средней выработки на 13,6 шт.
Дисперсия признака представляет собой средний квадрат отклонений вариантов от их средней величины, она вычисляется по формулам простой и взвешенной дисперсий (в зависимости от исходных данных):
простая дисперсия для несгруппированных данных:
взвешенная дисперсия для сгруппированного ряда:
Пример 3. Данные примера 1
Пример 4. Данные примера 2
| Группы рабочих по выработке изделий, шт. | Код строки | Число пред- приятий,
| Середина интервала,
| 
| 
| 
|
| А | Б | |||||
| 170-190 | ||||||
| 190-210 | ||||||
| 210-230 | ||||||
| 230-250 | ||||||
| Итого | - |
Техника вычисления дисперсии по формулам достаточно сложна, а при больших значениях вариантов и частот может быть громоздкой. Расчет можно упростить, используя свойства дисперсии (доказываемые в математической статистике).
Приведем два из них:
первое — если все значения признака уменьшить или увеличить на одну и ту же постоянную величину А, то дисперсия от этого не изменится;
второе — если все значения признака уменьшить или увеличить в одно и то же число раз (i раз), то дисперсия соответственно уменьшится или увеличится i2 раз.
Исходя из выше перечисленных свойств расчеты можно упростить следующим способом:
т.е. дисперсия равна разности средней из квадратов вариантов и квадрата их средней.
Дисперсия имеет большое значение в экономическом анализе. В математической статистике важную роль для характеристики качества статистических оценок играет их дисперсия. Однако вследствие суммирования квадратов отклонений, дисперсия дает искаженное представление об отклонениях, измеряя их в квадратных единицах. Поэтому на основе дисперсии выводятся еще две характеристики: среднее квадратическое отклонение и коэффициент вариации.
Среднее квадратическое отклонение равно корню квадратному из дисперсии:
для несгруппированных данных
где 
- индивидуальное значение признака;
- средняя арифметическая простая;
n- численность совокупности.
для сгруппированного признака рассчитывается по формуле:
,
где - центральный вариант i-того интервала;
- средняя арифметическая взвешенная;
-частота i-той группы.
Среднее квадратическое отклонение показывает, на сколько в среднем отклоняются конкретные варианты от их среднего значения; является абсолютной мерой колеблемости признака и выражается в тех же единицах, что и варианты, поэтому экономически хорошо интерпретируется.
Отклонение также используется для оценки надежности средней: чем меньше cреднее квадратическое отклонение σ, тем надежнее cреднее значение признака x , тем лучше средняя представляет исследуемую совокупность.
В статистической практике часто возникает необходимость сравнения вариаций различных признаков. Например, большой интерес представляет сравнение вариаций возраста рабочих и их квалификации, стажа работы и размера заработной платы, себестоимости и прибыли и т.д. Для подобных сопоставлений показатели абсолютной колеблемости признаков не пригодны: нельзя сравнивать колеблемость стажа работы, выраженного в годах, с вариацией заработной платы, выраженной в рублях.
Для осуществления такого рода сравнений, а также сравнений колеблемости одного и того же признака в нескольких совокупностях с различным средним арифметическим используют относительный показатель вариации - коэффициент вариации.
Коэффициент вариации представляет собой выраженное впроцентах отношение среднего квадратического отклонения к средней арифметической:
Коэффициент вариации используют не только для сравнительной оценки вариации единиц совокупности, но и как характеристику однородности совокупности. Совокупность считается количественно однородной, если коэффициент вариации не превышает 33 %.
Коэффициент осцилляции отражает относительную колеблемость крайних значений признака вокруг средней. 
(1)
Относительное линейное отклонение характеризует долю усредненного значения абсолютных отклонений от средней величины.
(2)
2. Правило сложения дисперсий
В простейшем случае, когда совокупность расчленена на группы по одному фактору, изучение вариации достигается посредством исчисления и анализа трех видов дисперсий: общей, межгрупповой и внутригрупповой.
Общая дисперсия σ 2 измеряет вариацию признака по всей совокупности под влиянием всех факторов, обусловивших эту вариацию.
Она равна среднему квадрату отклонений отдельных значений признака х от общей средней и может быть вычислена как простая дисперсия или взвешенная дисперсия.
Межгрупповая дисперсия характеризует систематическую вариацию, обусловленную влиянием признака-фактора, положенного в основание группировки. Она равна среднему квадрату отклонений групповых (частных) среднихот общей средней:
,
где i – средняя арифметическая, в i-той группе;
– общая средняя в совокупности;
¦ – частота i-той группы.
Внутригрупповая (частная) дисперсия отражает случайную вариацию, т.е. часть вариации, обусловленную влиянием неучтенных факторов и не зависящую от признака-фактора, положенного в основание группировки. Она равна среднему квадрату отклонений отдельных значений признака внутри группы от средней арифметической этой группы, (групповой средней) и может быть исчислена как простая дисперсия или как взвешенная дисперсия по формулам, соответственно:
Внутригрупповая дисперсия рассчитывается по формуле:
,
где хi – индивидуальное значение еденицы совокупности из i-той группы;
i – простая средняя арифметическая, рассчитанная в i-той группе;
¦ i – частота i-той группы.
На основании внутригрупповой дисперсии по каждой группеможно определить общую среднюю из внутригрупповых дисперсий:
,
где 
– дисперсия i-той группы (внутригрупповая дисперсия);
– частота i-той группы.
Согласно правилу сложения дисперсий общая дисперсия равна сумме средней из внутригрупповых и межгрупповой дисперсий:
где 
- общая дисперсия;
- межгрупповая дисперсия;
- средняя из внутригрупповых дисперсия.
Пользуясь правилом сложения дисперсий, можно всегда по двум известным дисперсиям определить третью неизвестную, а также судить о силе влияния группировочного признака. Очевидно, чем больше доля межгрупповой дисперсии в общей дисперсии, тем сильнее влияние группировочного признака на изучаемый признак. (н-р: квалификация и количество изготовленных деталей).
Поэтому в статистике широко используется эмпирический коэффициент детерминации – показатель, представляющий собой долю межгрупповой дисперсии в общей дисперсии результативного признака и характеризующий силу влияния группировочного признака на образование общей вариации:
Эмпирическое корреляционное отношение – это корень квадратный из эмпирического коэффициента детерминации:
где: 
- эмпирическое корреляционное отношение;
- общая дисперсия зависимого признака;
- межгрупповая дисперсия зависимого признака.
Оно показывает тесноту связи между группировочным и результативным признаком. Эмпирическое корреляционное отношение, может принимать значение от 0 до 1.
Если связь между признаками отсутствует, то отношение равно 0. Чем значение корреляционного отношения ближе к единице, тем связь между признаками теснее.