 |
|
Методы математической статистики
Варианты многомерного статистического контроля
8.1 Проверка гипотезы о векторе математического ожидания контролируемых параметров большой партии изделий с нормальным законом распределения и известной ковариационной матрицей по выборке малого объема (n1=40)
Гипотеза H0: 
,
где 
- оценка вектора выборочного среднего;
где 
- вектор математического ожидания.
Гипотеза Н1: 
Вид выборки: любая – большая, малая.
Закон распределения: многомерный нормальный закон распределения. Его плотность записывается в виде
,
где 
, 
- определитель матрицы K.
, 
.
Статистика: 
Закон распределения статистики U - 
распределение с числом степеней свободы k = n.
Доверительную область можно получать в n-мерном пространстве в виде 
Эта область представляет собой эллипсоид (в двумерном случае - эллипс).
Пример 2.1. По данным контрольных замеров деталей (табл.), изготовленных на десяти станках (n1=10), проверить гипотезу с уровнем значимости 
о соответствии средних измеряемых параметров деталей X1, X2, X3 (n=3) контрольным значениям 
; 
; 
.
Ковариационная матрица считается известной
Исходная информация для сравнения параметров
Таблица 2.7
| Номер изделия | № станка | |||||||||
| X1 | ||||||||||
| X2 | 1,2 | 1,2 | 1,4 | 1,2 | 1,2 | 1,5 | 1,5 | 1,3 | 1,7 | 1,6 |
| X3 | 2,1 | 2,8 | 3,2 | 4,5 | 4,8 | 4,9 | 5,5 | 6,5 | 8,5 |
Решение. Исходя из условия задачи требуется проверить гипотезу H0:
получим неравенство 
, т.е. гипотеза Н0 отвергается с вероятностью ошибки 0,05.
Таким образом, средние уровни измеряемых параметров деталей не соответствуют контрольным цифрам.
8.2. Проверка гипотезы о векторе математического ожидания контролируемых параметров большой партии изделий с нормальным законом распределения и неизвестной ковариационной матрицей по выборке малого объема (n1=40)
В отличие от случая 2.5.2 используется статистика Хоттелинга: 
, где 
- выборочная ковариационная матрица с элементами 
, где 
- значение параметра i в v эксперименте.
Закон распределения статистики 
- F – распределение с n (для числителя) и n1-1 (для знаменателя) степенями свободы.
Доверительную область можно получить в n-мерном пространстве в виде
Это снова эллипсоид.
Пример 2.2. В условиях предыдущего примера решить задачу при неизвестной ковариационной матрице.
Решение. Требуется проверить гипотезу H0: 
против H1: .
Прежде всего находим оценку ковариационной матрицы:
.
Значение функции F – распределения 
.
Получаем соотношение 
, которое говорит о том, что гипотеза Н0 и в этом случае отвергается с вероятностью 0,05.
8.3.Проверка гипотезы о средних значениях n контролируемых параметров двух больших партий изделий с нормальным законом распределения и известной ковариационной матрицей по выборке малого объема (n1=40; n2=40).
Гипотеза H0: 
,
Гипотеза H1: 
.
Вид выборки: любая – большая, малая.
Закон распределения: многомерные нормальные законы распределения 
, 
.
Статистика: 
.
Закон распределения статистики U - распределение с числом степеней свободы k = n.
Доверительная область определяется условием
.
Эта область представляет собой эллипсоид.
8.4. Проверка гипотезы о средних значениях “n” контролируемых параметров двух больших партий изделий с нормальным законом распределения и неизвестной ковариационной матрицей по выборке малого объема (n1=40; n2=40)
В отличие от случая 2.5.3 используется статистика:
,
.
Здесь 
, 
-ковариационные матрицы партий №1,№2.
Закон распределения статистики U – F-распределение с n (для числителя) и (n1 + n2 – n –1) (для знаменателя) степенями свободы.
Доверительную область получим из условия:
.
Как и ранее, это снова эллипсоид.
Литература
1.Компьютерные технологии адаптивной обработки данных,часть1:Лабораторный практикум / РГМУ: сост. Булаев М.П., Дорошина Н.В., Кабанов А.Н. Рязань, 2002, 27 с.
2.Элементы теории вероятностей: Практикум, Б131 /Авт.-сост. М.П.Булаев, Е.В. Прохорова; под ред. М.П. Булаева; Ряз. гос. мед. ун-т им. акад И.П.Павлова. - Рязань: РИО РГМУ, 2006. – 93 с.
3.Математические методы обработки и интерпретации результатов тестовых экспериментов. Практикум/РГМУ: сост. Булаев М.П., Дорошина Н.В., Кабанов А.Н. Рязань, РГМУ, 2005. – 31с.
Лекция№9