 |
|
Методические указания
Статистический ряд распределения– это упорядоченное распределение единиц совокупности на группы по определенному варьирующему признаку. В зависимости от признака, положенного в основу образования ряда распределения, различают атрибутивные и вариационные ряды распределения. Наиболее часто в статистике изучаются вариационные ряды распределения.
Вариационными называют ряды распределения, построенные по количественному признаку. Любой вариационный ряд состоит из двух элементов: вариантов и частот. Вариантами считаются отдельные значения признака, которые он принимает в вариационном ряду, т.е. конкретное значение варьирующего признака. Частоты – это численности отдельных вариантов или каждой группы вариационного ряда, т.е. это числа, показывающие, как часто встречаются те или иные варианты в ряду распределения. Сумма всех частот определяет численность всей совокупности, ее объем.
Для целей анализа и сравнительной характеристики применяют обобщающие показатели вариационного ряда.
Первая группа показателей – показатели центра группирования (средняя арифметическая, мода и медиана).
Мода Мо – наиболее встречающееся значение признака в совокупности, т.е. имеет наибольшую частоту.
Мо = Хо + i * (f2 – f1) / ((f2 – f1) + (f2 – f3)),
гдеХо –нижняя граница модального интервала,
i –величина интервала,
F1 –частота модального интервала,
F2 –частота интервала, предшествующего модальному,
F3 -частота интервала, следующего за модальным.
Например, известно распределение рабочих участка по размеру дневной заработной платы. Определить модальное и медианное значение признака в изучаемой совокупности. Сделать соответствующие выводы.
| X = Ч/пл | f Числ.рабочих | S Накопл.частоты |
| 150 - 170 | ||
| 170 - 190 | ||
| 190 - 210 | ||
| 210 - 230 | ||
| 230 - 250 | ||
| Итого: | --- |
Мо = 210 + 20 * (70 – 58) / (70 – 58) + 70 – 42 = 216
Вывод. Наиболее часто в совокупности встречается заработная плата рабочего в 216 рублей.
Медиана Ме – значение признака у средней единицы ранжированного ряда.
Ме = Хо + i * (Σf / 2 – SМе-1) / fМе,
где Хо - нижняя граница медианного интервала,
Σf / 2 –порядковый номер медианы,
SМе-1 –накопленная частота домедианного интервала,
FМе –частота медианного интервала.
Номер медианного интервала определяют как сумму частот поделенную пополам, т.е. Σf / 2 = 200 / 2 = 100.Сотая единица входит в интервал от 210 до 230.
Ме = 210 + 20 * (100 – 88) / 70 = 213,43
Вывод. Половина рабочих данного предприятия получает заработную плату ниже 213,43 рублей, а ровно половина выше этого значения.
Вторая группа показателей – показатели степени вариации признака в совокупности.
Два ряда распределения, имеющие одинаковые обобщающие показатели могут значительно отличаться друг от друга по степени колеблемости (вариации) признака в совокупности.
Пример. Выработка рабочих двух бригад за 7 дней работы
| W1 | ||||||||
| W2 |
В первой бригаде наблюдается равномерное распределение, а во второй - значительное рассеивание.
К абсолютным показателям рассеивания относят размах колебаний:
R = Xmax – Xmin
Может использоваться в частности для контроля качества продукции.
Учет колеблемости всех значений признака отражают с помощью относительных показателей:
Большинство таких показателей отражают отклонение признака от ср.арифметической (как обобщающего показателя).
1) Ср.линейное отклонение:
D = Σ /Xi – Xср/ / n, -для несгруппированных данных,
D = Σ /Xi – Xср/ * f / Σ f –для вариационного ряда.
2) Ср.квадратическое отклонение:
σ = √Σ (Xi – Xср) / n, -для несгруппированных данных,
σ = √Σ (Xi – Xср) * f / Σ f -для сгруппированных данных.
Порядок расчета ср.квадратического отклонения:
1) находим ср.арифметическую ряда – Хср,
2) находим отклонение каждого варианта значения признака от ср.арифметической - (Xi – Xср),
3) возводим каждое отклонение в квадрат,
4) полученный результат умножаем на соответствующие веса - (Xi – Xср) * f,
5) суммируем все произведения- Σ (Xi – Xср) * f,
6) полученную сумму делим на сумму весов (частот) - Σ (Xi – Xср) * f / Σ f.
Таким образом, получаем дисперсию признака. Извлекая корень, получаем ср. квадратическое отклонение, которое показывает на сколько в среднем индивидуальные значения признака отклоняются от среднего в совокупности.
Свойства дисперсии:
1) дисперсия постоянного числа равна нулю,
2) если все варианты значений признака уменьшить в одно и то же число раз (k – раз), то дисперсия уменьшится в k – квадрат раз.
3) если все варианты значений признака уменьшить на одно и то же число единиц, то дисперсия не изменится.
Различают виды дисперсии:
Общая дисперсия характеризует вариацию признака как результат влияния всей совокупности факторов. Общая дисперсия делится на внутригрупповую и межгрупповую.
Межгрупповая дисперсия характеризует вариацию признака под влиянием фактора, положенного в основу группировки, т.е. является мерой колеблемости частных средних по группам вокруг общей средней:
σ²= Σ /X j – Xср.общ/ * nj/ Σ nj,
где nj –число единиц в j-той группе,
Xср.общ –общая средняя по совокупности,
X j – частная средняя по j-той группе.
Внутригрупповая дисперсия – обусловлена влиянием прочих факторов, характеризует колеблемость изучаемого признака в каждой группе.
Пример. Влияние стажа работы рабочих на производительность труда (W).
| Группы рабочих по стажу лет | Число рабочих в группе | Wср.час | Дисперсия внутригр. |
| До 5 лет | |||
| 5 и более лет |
Проведём дисперсионный анализ:
σ2= Σ /X j– Xср.общ./2 * nj/ Σ nj,
1) Хср.общ = (20*30 + 23*40) / 70 = 21,7
2) σмгр2 = [(20 – 21,7)*30 + (23 – 21,7)*40] 2 / 70 = 2,2
3) Найдем среднюю из внутригрупповых дисперсий:
σвгр2 = ( 3*30 + 2*40) / 70 = 2,43
4) σ2общ = 2,2 + 2,43 = 4,63.
Выводы: (2,2 / 4.63 * 100%) На 47,6% вариация выработки зависит от стажа, а на 52,4% от влияния все прочих факторов (квалификация, фондовооруженность, психологическое состояние и пр.)