Побудова натуральної величини фігури перерізу

Переріз поверхні площиною

При перерізах поверхонь площиною утворюється плоска крива лінія, кожна точка якої є точкою перетину лінії каркаса поверхні з січною площиною. Для побудови точок лінії перерізу можуть бути застосовані метод допоміжних січних площин та методи перетворення площин проекцій. Звичайно обирають допоміжні січні площини рівня або проекціювальні площини, що дає можливість визначити множину точок перетину ліній каркаса поверхні з допоміжною площиною. Способи перетворення площин проекцій дозволяють перевести площину загального положення в проекціювальне положення і цим спростити розв’язування задачі.

Переріз поверхні площиною окремого положення

При перетині поверхні площиною окремого положення отримаємо плоску фігуру, що називається перерізом. Ця фігура належить січній площині.

Визначення проекцій лінії перерізу звичайно починають з побудови опорних точок – точок, розміщених на крайніх контурних твірних поверхні, найвищих і найнижчих точок фігури, точок, які визначають границю видимості. Після цього визначають довільні точки фігури перерізу.

Конічні перерізи. На поверхні прямого кругового конуса від перетину площиною можна отримати такі лінії:

1) дві твірні, якщо січна площина α проходить через вершину конуса (рис. 7.1, а);

2) коло, якщо січна площина α перпендикулярна до осі конуса (рис. 7.1, б);


а)	б)
Рисунок 7.1

3) гіперболу, якщо січна площина α паралельна до двох довільних твірних конуса або якщо ця площина паралельна до осі конуса (7.2, а);

4) параболу, якщо січна площина α паралельна до однієї з твірних конуса (рис. 7.2, б);

5) еліпс, якщо площина α перетинає всі твірні конуса і вона не перпендикулярна до осі конуса (рис. 7.2, в).


а)	б)	в)
Рисунок 7.2

Побудова натуральної величини фігури перерізу

Натуральну величину фігури перерізу на поверхні прямого кругового циліндра можна знайти заміною площин проекцій. Паралельно до площини α₂ вводять додаткову площину проекції П₄. Система площин проекцій П₁ / П₂ замінюється на П₂ / П₄. Від фронтальних проекцій точок, що лежать на перерізі, проводять лінії зв’язку, перпендикулярно до нової осі х_2,4. На П₄ будують проекції точок А₄, В₄, С₄, D₄, M₄, N₄, K₄, L₄. Координати точок беруть на П₁ і відкладають від нової осі х_2,4 до проекцій точок на П₄. Отримані точки з’єднують плавною кривою і отримують натуральну величину фігури перерізу, криву другого порядку – еліпс (рис. 7.3), де А₄В₄ – велика вісь еліпса, С₄D₄ – мала вісь еліпса.

Рисунок 7.3

Задача 1. Побудувати натуральну величину фігури перерізу прямого кругового конуса. Січна площина α – фронтально-проекціювальна (рис.7.4).

Розв’язування. Цю задачу можна розв’язати способом заміни площини проекції. Спочатку будують горизонтальну проекцію лінії перерізу. Оскільки січна площина паралельна тільки одній твірний, то фігурою перерізу буде парабола. Опорні точки А, В, С отримують там, де січна площина α перетинає фронтальну проекцію обрису конуса (контур). Поточні точки D, Е будують за допомогою паралелі на поверхні конуса. Горизонтальна проекція параболи не має натуральної величини. Для побудови натуральної величини вводять додаткову площину проекції П₄ паралельно січній площині α. Координати всіх точок параболи беруть на П₁ (по осі у) і за допомогою ліній зв’язку переносять на П₄. Проекції точок А₄, В₄, С₄ , D₄, Е₄ з’єднують і отримують натуральну величину фігури перерізу.

Рисунок 7.4

Задача 5. Побудувати натуральну величину фігури перерізу на поверхні похилої призми.

Розв’язування. На рисунку 7.5 фронтально-проекціювальна січна площина a перетинає поверхню похилої піраміди. На фронтальній площині проекції П₂ визначають проекції точок K₂, L₂ , M₂ перетину січної площини a з ребрами призми. Ці точки проекціюють на П₁ на відповідні ребра призми, з’єднують і отримують фігуру перерізу, трикутник K₁L₁M₁. Для побудови натуральної величини цього трикутника можна використовувати спосіб заміни площин проекцій. Додаткову площину проекції П₄ вводять паралельно проекції січній площини a₂. Точки K, L, M проекціюють на П₄, з’єднують і отримують натуральну величину фігури перерізу.

Рисунок 7.5