 |
|
Аналітичні показники ряду динаміки.
| Роки | Всього побудовано Житлово-будівний комплекса млн.кв.м | Абсолютний приріст  , млн.кв.м.
| Коефіцієнти або темпи зростання | Темпи приросту (відсотки) | Абсолютне значення одного відсотку приросту, тис.кв.м | |||
| Порівняно з 2008 р. | Порівняно з поперед-нім роком | Порівняно з 2008 р. | Порівняно з поперед-нім роком | Порів-няно з 2008 р. | Порівняно з поперед-нім роком | |||
| 2,9 | ¾ | ¾ | ¾ | ¾ | ¾ | ¾ | ¾ | |
| 2,4 | -0,5 | -0,5 | 0,8276 | 0,8276 | -17,24% | -17,24% | ||
| 2,1 | -0,8 | -0,3 | 0,7241 | 0,8750 | -27,59% | -12,5% | ||
| 1,9 | -1 | -0,2 | 0,6552 | 0,9048 | -34,48% | -9,52% | ||
| 1,8 | -1,1 | -0,1 | 0,6207 | 0,9474 | -38,93% | -5,26% |
Завдання
ЗАДАЧА 1. За наведеними нижче даними:
1) вказати види динамічних рядів і пояснити їх особливості;
2) для кожного ряду обчислити ланцюгові та базисні показники динаміки;
3) обчислити середньоквартальну кількість працівників та обсяг виробленої продукції.
| Показник | Минулий рік, квартал | Звітний рік, І квартал | |||
| І | ІІ | ІІІ | ІV | ||
| Обсяг виробництва, тис. грн. | |||||
| Кількість працівників на початку кварталу, осіб |
ЗАДАЧА 2. Роздрібний товарооборот універмагу за 5 років становив:
| Рік | |||||
| Товарооборот, млн. грн. | 150,0 | 166,5 | 178,6 | 189,1 | 195,0 |
Обчислити:
1) абсолютний приріст товарообороту за кожний рік та за весь період;
2) темпи зростання та приросту ланцюгові та базисні;
3) абсолютне значення 1 % приросту.
ЗАДАЧА 3. За даними задачі 2 обчислити:
1) середній річний товарооборот;
2) середній річний темп зростання і приросту;
3) середній річний абсолютний приріст. Зробити висновки.
ЗАДАЧА 4. За даними щодо динаміки кредитних ресурсів комерційного банку на початок місяця, наведеними нижче, обчислити середній обсяг кредитних ресурсів за І, ІІ квартали та за півроку.
| Місяць | I | II | III | IV | V | VI | VII |
| Обсяг ресурсів, млн. грн. |
ЗАДАЧА 5. Для зіставлення динаміки видобутку енергоресурсів привести ряди динаміки до загальної основи. Зробити висновки.
| Рік | Нафта, млн. т | Вугілля, млн. т |
ЗАДАЧА 6. Прибуток підприємства у 2011 р. становив 2 млн. грн. і до 2017 р. його планують збільшити до 3,2 млн. грн. Обчислити середньорічний абсолютний та відносний приріст.
ЗАДАЧА 7. За наведеною нижче інформацією про щорічні темпи приросту реалізації товарів на фірмі обчислити, на скільки відсотків зросла реалізація товарів у 2012 р. порівняно з 2009 р.
| Рік | ||||
| Темпи приросту реалізації до попереднього року, % | 2,0 | 3,1 | 6,5 | 8,0 |
ЗАДАЧА 8. Яким повинен бути в середньому щорічний темп приросту, щоб за 7 років виробництво продукції зросло у 1,5 раза?
ЗАДАЧА 9. За наведеними нижче даними про динаміку виробництва товарів широкого вжитку (коефіцієнти до 1992 р.) обчислити:
1) ланцюгові темпи динаміки;
2) середньорічні темпи зростання виробництва за періоди 1992-2002 та 2002-2012 рр.
| Рік | |||||
| Виробництво по відношенню до 1992 р. | 2,5 |
ЗАДАЧА 10. Використовуючи взаємозв'язок показників динаміки, визначити кількість підприємств, абсолютну і відносну швидкість зростання кількості спільних підприємств за даними наведеної нижче таблиці.
| Рік | Кількість діючих СП | Ланцюгові характеристики динаміки | |||
| Абсолютний приріст | Темп зростання, % | Темп приросту, % | Абсолютне значення 1 % приросту | ||
| х | х | х | х | ||
| 15,3 |
ЗАДАЧА 11. Виробництво кондитерських виробів фірмою характеризується такими даними:
| Місяць | I | II | III | IV | V | VI | VII | VIII | IX | X | XI | XII |
| Виробництво, тис. грн. | 9,5 | 8,8 | 9,3 | 9,4 | 10,2 | 12,2 | 13,6 | 13,1 | 11,7 | 12,2 | 10,1 | 9,4 |
Визначити індекси сезонності та амплітуду сезонних коливань виробництва кондитерських виробів. Зробити висновки.
ЗАДАЧА 12. Витрати умовного палива на виробництво 1 кВт-год електроенергії становили:
| Рік | |||||
| Витрати палива, г |
Обчислити:
1) абсолютне зниження витрат умовного палива за кожний рік та до 2008 р.;
2) темпи зниження умовного палива ланцюгові та базисні. Зробити висновки.
ЗАДАЧА 13. Мамо таку інформацію про товарооборот універмагу за кожний день другої половини вересня, тис. грн.:
| 16.09 - 800 | 21.09 - 830 | 26.09 - 900 |
| 17.09 - 800 | 22.09 - 860 | 27.09 - 880 |
| 18.09 - 830 | 23.09 - 870 | 28.09 - 875 |
| 19.09 - 850 | 24.09 - 875 | 29.09 - 890 |
| 20.09 - 830 | 25.09 - 890 | 30.09 - 810 |
Вирівняти ряд динаміки за допомогою п'ятиденної плинної середньої. Зробити висновки.
ЗАДАЧА 14. Використовуючи взаємозв'язок показників динаміки, визначити рівні ряду динаміки та відсутні у таблиці базисні показники динаміки.
| Місяць | Доходи комерційного банку, млн. грн. | Базисні показники динаміки | ||
| Абсолютний приріст, млн. грн. | Темп зростання, % | Темп приросту, % | ||
| Січень | 4,3 | |||
| Лютий | 0,2 | |||
| Березень | ||||
| Квітень | ||||
| Травень | ||||
| Червень | 1,0 | |||
| Липень | ||||
| Серпень | ||||
| Вересень | 2,3 | |||
| Жовтень |
ЗАДАЧА 15. У травні ціни на м'ясо порівняно з квітнем зросли на 7 %, у червні порівняно з травнем - на 6 , у липні порівняно з червнем - на 5, у серпні порівняно з липнем - на 7 %. Обчислити, на скільки відсотків зросли ціни на м'ясо за 4 місяці та середньомісячний темп зростання цін.
Практичне заняття № 6
Тема: Індекси
Запам’ятайте
Використавши наведені умовні позначення, складемо основні економічні індивідуальні індекси з формулами:
| Індекси | Формули |
| Цін | 
|
| Обсягу продукції | 
|
| Товарообігу | 
|
| Собівартості одиниці продукції | 
|
| Продуктивності праці | 
|
Рішення типових завдань
Приклад 2. За даними про ціни й обсяг реалізованої продукції меблевої фабрики визначити:
динаміку виробництва продукції на фабриці (загальний індекс фізичного обсягу виробництва);
зміну цін на продукцію меблевої фабрики (загальний індекс цін).
Для зручності подамо вихідні та розрахункові дані в одній таблиці.
| Вид продукції | Вихідні дані | Розрахункові дані | |||||
| Продано, шт. | Ціна за 1 шт., тис. г.о. | Виручка від реалізації, тис. г.о. | |||||
| І півріччя q1 | IІ півріччя q1 | І півріччя p1 | IІ півріччя p1 | У І півріччі q0*p0 | У ІI півріччі q1*p1 | Умовна q1*p0 | |
| Шафи | |||||||
| Столи | |||||||
| Стільці | 9,5 | ||||||
| Всього |
Формула агрегатного індексу обсягу продукції має вигляд
,
де q – індексована величина; p0 – вага; 
- вартість продукції у звітному періоді.
Цей індекс показує, що у середньому на фабриці ціни на продукцію знизилися у ІІ півріччі порівняно з і півріччям на 3,4%.
З агрегатного індексу фізичного обсягу виробництва можна також визначити величину приросту продукції у грошовому виразі (приріст валової продукції). Так, у прикладі 2 абсолютний приріст продукції становитиме
Якщо 
, то це означає, що у звітному періоді випуск продукції знизився.
Загальний індекс цін дає змогу обчислити реальну економію населення, яку воно дістає у разі зниження цін, або перевитрати, якщо ціни зросли. У прикладі 2 завдяки зниженню цін на продукцію меблевої фабрики сума економії становила 2240 тис.г.о.
У випадку зростання цін 
З прикладу 2 видно, що індекс фізичного обсягу реалізованої продукції характеризує лише зростання кількості проданих товарів без урахування впливу на величину товарообігу у звітному періоді зміни цін на окремі види продукції.
Для зіставлення фактичного товарообігу групи товарів за два періоди використовують зведений індекс товарообігу у фактичних цінах.
,
де 
- сума товарообігу у звітному періоді;
- сума товарообігу у базисному періоді.
Цей індекс характеризує зростання обсягу товарообігу у звітному періоді порівняно з базисним періодом, але не показує, за рахунок чого відбулося це зростання: від збільшення кількості проданих товарів, чи від зміни цін за окремі товари.
Агрегатні індекси фізичного обсягу реалізованої продукції і цін взаємопов’язані формулою
Довести цю рівність можна, використавши дані прикладу 2
Справді, 
Аналогічно до індексу цін можна скласти і обчислити зведений індекс собівартості продукції. Формула агрегатного індексу собівартості має вигляд:
де z - індексована величина; q1 – вага (співвимірник); 
- затрати на виробництво продукції у звітному періоді; 
- затрати на виробництво продукції у звітному періоді за собівартістю базисного періоду.
Завдання
ЗАДАЧА 1. За наведеною у таблиці інформацією про динаміку цін та кількість проданого чоловічого одягу однієї з фірм обчислити:
1) індивідуальні індекси цін та кількості проданого одягу;
2) загальні індекси цін, фізичного обсягу реалізації та товарообороту у фактичних цінах;
3) абсолютний приріст товарообороту в цілому та за рахунок окремих факторів.
Зробити висновки.
| Показник | Вид одягу | |
| Костюми | Плащі | |
| Ціна за одиницю товару, грн. | ||
| базисний період | ||
| звітний період | ||
| Кількість проданого одягу, штук | ||
| базисний період | ||
| звітний період |
ЗАДАЧА 2. Як у середньому змінились ціни на продовольчі товари у поточному році порівняно з базисним, якщо фізичний обсяг продажу зріс на 6 %, а товарооборот - на 8 %?
ЗАДАЧА 3. За наведеною у таблиці інформацією про діяльність хлібокомбінату за два місяці обчислити:
1) індекси собівартості одиниці виробу, фізичного обсягу виробництва, загальних витрат на виробництво;
2) абсолютну зміну витрат на виробництво в цілому та за рахунок окремих факторів.
Зробити висновки.
| Хліб | Базисний період | Звітний період | ||
| Обсяг виробництва, т | Собівартість одиниці виробу, грн. | Обсяг виробництва т | Собівартість одиниці виробу, грн. | |
| "Український" | 0,6 | 6,5 | 0,7 | |
| "Бородинський" | 0,5 | 3,0 | 0,4 | |
| Паляниця | 0,4 | 2,6 | 0,5 | |
| Батон | 0,2 | 6,0 | 0,3 |
ЗАДАЧА 4. За даними про динаміку роздрібного товарообороту та цін по регіону, наведеними нижче, обчислити:
1) загальні індекси цін, фізичного обсягу товарообороту та товарообороту в діючих цінах;
2) абсолютну зміну товарообороту за рахунок факторів та в цілому;
3) економію чи перевитрати коштів населення внаслідок зміни цін. Зробити висновки.
| Група товару | Обсяг роздрібного товарообороту у фактичних цінах, млн. грн. | Підвищення цін у 2012 р. порівняно з 2011 р., % | |
| 2011 р. | 2012 р. | ||
| Продовольчі | |||
| Непродовольчі |
ЗАДАЧА 5. Згідно з даними таблиці про групи підприємств обчислити:
1) індивідуальні індекси продуктивності праці окремих фірм;
2) індекси продуктивності праці змінного складу, постійного складу і структурних зрушень.
3) Зробити висновки.
| Номер підприємства | Минулий рік* | Звітний рік* | ||
| а | б | а | б | |
| Всього |
* а - вироблено продукції в незмінних цінах, тис. грн.; б - кількість працівників, осіб.
ЗАДАЧА 6. За наведеними нижче даними щодо реалізації сільськогосподарської продукції підприємствами району обчислити:
1) загальний індекс фізичного обсягу проданої продукції;
2) індекс цін за допомогою взаємозв'язку індексів. Зробити висновки.
| Вид продукції | Загальний обсяг продажу, млн. грн. | Індивідуальні індекси фізичного обсягу реалізації | |
| 2011 р. | 2012 р. | ||
| Зернові | 316,4 | 284,2 | 0,82 |
| Цукрові буряки | 115,0 | 112,3 | 0,85 |
ЗАДАЧА 7. Товарооборот овочевого магазину у серпні по відношенню до липня зріс у групі овочевої продукції на 15 %, а фруктової - на 13 %. У липні питома вага овочевої продукції становила 40 %, фруктів - 60 %. Обчислити, як змінився фізичний обсяг товарообороту у серпні по відношенню до липня.
ЗАДАЧА 8. За наведеними нижче даними про обсяг реалізації та середні ціни на картоплю обчислити:
1) загальний індекс середніх цін на картоплю;
2) загальний індекс цін постійного складу;
3) індекс структурних зрушень. Зробити висновки.
| Місто | Обсяг реалізації, ц | Ціна за 1ц, грн. | ||
| Базисний рік | Звітний рік | Базисний рік | Звітний рік | |
| Київ | ||||
| Житомир | ||||
| Всього | - | - |
ЗАДАЧА 9. Ціни на товари у звітному періоді зросли на 13 % порівняно з минулим періодом. Обчислити, як змінилася купівельна спроможність гривні.
ЗАДАЧА 10. Ціна на м'ясо у квітні порівняно з травнем зросла на 30 %, кількість проданого м'яса зменшилась на 30 %. Обчислити, як змінилась виручка від продажу м'яса. Зробити висновки.
ЗАДАЧА 11. Використавши взаємозв'язок індексів, відповісти на запитання
| Показник | Зміна порівняно з минулим місяцем: (+) - збільшення, (-) - зменшення, % | ||
| І квартал | ІІ квартал | ІІІ квартал | |
| Фонд заробітної плати | ? | -5 | +9 |
| Середня заробітна плата | +2 | -1 | ? |
| Кількість працівників | -6 | ? | +4 |
ЗАДАЧА 12. Індекси ставок за кредит в акціонерних банках протягом першого кварталу становили у відсотках до попереднього місяця: січень - 105, лютий - 107, березень - 100. Обчислити, на скільки відсотків зросла ставка за кредит у березні порівняно з груднем минулого року.
ЗАДАЧА 13. Обчислити загальний індекс фізичного обсягу товарообороту за даними наведеної нижче таблиці. Зробити висновки.
| Товар | Індивідуальні індекси фізичного обсягу товарообороту, % | Товарооборот базисного періоду, тис. грн. |
| М'ясо | ||
| Масло | ||
| Овочі |
ЗАДАЧА 14. Кількість реалізованих на ринку молочних продуктів зросла на 16 % за місяць, а обсяг товарообороту цих продуктів (у діючих цінах) не змінився. Обчислити, як змінились ціни на молочні продукти.
ЗАДАЧА 15. За наведеними у таблиці даними щодо магазину обчислити загальний індекс цін, фізичного обсягу товарообороту, товарообороту в діючих цінах та економію витрат населення від зміни цін.
| Товарна група | Товарооборот, тис. грн. | Зміна цін, % | |
| 2003 р. | 2004 р. | ||
| Натуральні тканини | +2 | ||
| Синтетичні тканини | -7 |
Практичне заняття № 7
Тема: Вибіркове спостереження
Запам’ятайте
Оскільки випадкових похибок уникнути неможливо, то в процесі використання вибіркового методу, визначивши їхній розмір, коригують характеристики генеральної сукупності. Для визначення похибок вибірки використовують такі розрахункові елементи:
— обсяг генеральної сукупності;
— обсяг вибіркової сукупності;
— частка вибіркової сукупності;
— частка необстеженої (недослідженої) сукупності;
W — частка сукупності, яка має певну ознаку;
— частка сукупності, яка не має певної ознаки;
— середня величина ознаки в генеральній сукупності;
— середня величина ознаки у вибірковій сукупності;
m— середня похибка вибірки.
Для визначення середніх або стандартних похибок вибірки використовують систему розрахункових формул.
Формули розрахунку середніх похибок при простому випадковому відборі
Рішення типових завдань
Приклад: у сільськогосподарському підприємстві досліджуються втрати зерна озимої пшениці, пов’язані з несвоєчасним його збиранням. Число ділянок обрано пропорційно площі, засіяній зерном певного сорту (сорт розглядається як тип явища). Одержані результати зведені у таблицю:
Вихідна інформація про результати сортових випробувань
| Сорт пшениці | Число пробних ділянок | Втрати зерна на 1 га, ц | Дисперсія втрат зерна |
| Одеська | 2,25 | ||
| Рута | 1,44 | ||
| Вікторія | 0,81 |
Проведемо розрахунки:
1) середні витрати зерна
ц/га;
2) середня дисперсія
3) гранична помилка вибірки з імовірністю 0,954
Отже, з імовірністю 0,954 можна стверджувати, що на всій площі через несвоєчасне збирання урожаю втрати з розрахунку на 1 га становлять від 2,7 (3,3 — 0,6) до 3,9 ц/га (3,3 + 0,6).
У ряді випадків вибіркове спостереження використовують як метод контролю суцільного спостереження. До речі, у такий спосіб проводять 10%-ний вибірковий контроль результатів обліку худоби у господарствах. Якщо, наприклад, за результатами контрольної перевірки виявлено 156 корів (при 150 за даними обліку), то коефіцієнт недоліку становитиме 4.
Цей коефіцієнт використовують як помилку при вибірці з метою коригування.
Завдання
ЗАДАЧА 1. Для обчислення середнього відсотка природних втрат товару було обстежено 100 із 2000 однакових за масою партій і одержано такі дані:
| Відсоток природних втрат | Кількість партій |
| 3-5 | |
| 5-7 | |
| 7-9 | |
| 9-11 | |
| 11-13 | |
| Всього |
Обчислити з імовірністю 0,997 межі в генеральній сукупності середнього відсотка природних втрат та з імовірністю 0,954 частку партій товару з природними втратами понад 9 %.
ЗАДАЧА 2. Під час перевірки жирності молока було випадковим без повторним відбором відібрано 20 зразків (10 %). Перевірка показала, що середня жирність дорівнює 3 %, середнє квадратичне відхилення - 1,1 %. Обчислити з імовірністю 0,954 помилку вибірки та межі середнього відсотка жиру в генеральної сукупності. Зробити висновки.
ЗАДАЧА 3. Було опитано 25 студентів, відібраних випадковим без повторним відбором із 150, які навчалися на денному відділенні. Спостереження показало, що в середньому щоденні витрати часу на самостійну роботу одного студента становили 4 години за середнього квадратичного відхилення 0,5 годин. Обчислити з імовірністю 0,997 межі середніх витрат часу на самостійну роботу студента в генеральній сукупності.
Зробити висновки.
ЗАДАЧА 4. Нижче наведено вибіркові дані про природні втрати крупи, що надходить у торговельну мережу стандартною масою:
| Втрати, % | 0,05-0,10 | 0,10-0,15 | 0,15-0,25 | 0,25-0,35 | 0,35-0,45 | 0,45-0,55 |
| Кількість відібраних зразків |
Обчислити:
1) середній відсоток втрат крупи і середнє квадратичне відхилення за даними вибіркової сукупності;
2) середню помилку вибірки для середнього відсотка втрат та для частини зразків з втратами понад 0,25 %;
3) з імовірністю 0,997 межі середнього відсотка втрат крупи та межі частини зразків з втратами понад 0,25% в генеральній сукупності.
ЗАДАЧА 5. Визначити, як потрібно змінити обсяг випадкової повторної вибірки, щоб її середня помилка зменшилась у три рази.
ЗАДАЧА 6. Середня помилка випадкової повторної вибірки дорівнює 20 %. Визначити, як потрібно змінити обсяг вибірки, щоб зменшити цю помилку до 10 %.
ЗАДАЧА 7. Підприємством було виготовлено 10000 штук виробів. Перевірено випадковим порядком 600 штук, з яких 10 штук виявилися бракованими. Обчислити з імовірністю 0,954 межі та кількість бракованих виробів в усій партії виробів.
ЗАДАЧА 8. У результаті вибіркового опитування 100 працівників підприємства встановлено, що вони в середньому витрачають на дорогу до роботи 60 хвилин за середнього квадратичного відхилення 15 хвилин.
Обчислити, з якою імовірністю можна стверджувати, що різниця між вибірковою середньою і генеральною середньою витрат часу на дорогу не перевищує 5 хвилин.
ЗАДАЧА 9. Опитано 500 сімей працівників сільського господарства. Результати опитування показали, що 300 з них мають телевізори. Визначити з імовірністю 0,954 відсоток сімей, що мають телевізори, в загальній кількості сімей працівників сільського господарства.
ЗАДАЧА 10. Для перевірки якості закупленої партії товару було здійснено 5%-не вибіркове спостереження. Отримано такі результати:
| Відсоток вологості | До 14 | 14-16 | 16-18 | 18-20 | 20 та більше | Всього |
| Кількість обстежених зразків |
За умови, що нестандартною є продукція з вологістю до 14 %, визначити для цієї партії:
1) з імовірністю 0,954 межі питомої ваги нестандартної продукції;
2) з імовірністю 0,997 можливі межі середнього відсотка вологості для всієї партії товару.
ЗАДАЧА 11. Для того щоб визначити кон'юнктуру ринку холодильників, здійснено вибіркове анкетне спостереження 500 сімей. Обстеження показало, що 60 % з них мають холодильники. Визначити:
1) з якою імовірністю можна стверджувати, що вибіркова частка відрізнятиметься від генеральної не більш ніж на 3 %;
2) скільки потрібно опитати сімей, щоб вказану в пункті "1" граничну помилку гарантувати з імовірністю 0,997.
ЗАДАЧА 12. Випадковим без повторним спостереженням було обстежено 100 одиниць товарної продукції, з яких п'ять забраковано. Визначити з імовірністю 0,954 граничну помилку частки бракованої продукції.
ЗАДАЧА 13. Скільки хлібобулочних магазинів потрібно відібрати, щоб визначити середній одноденний товарооборот на один магазин. Помилка вибірки з імовірністю 0,954 не повинна перевищувати 100 грн. за середнього квадратичного відхилення 5 грн.
ЗАДАЧА 14. Випадковим порядком відібрано 25 магазинів взуття для обстеження витрат часу на обслуговування покупця. Встановлено, що в середньому на обслуговування одного покупця витрачається 20 хвилин за середнього квадратичного відхилення 5 хвилин. З імовірністю 0,997 визначити межі витрат часу в генеральній сукупності.
ЗАДАЧА 15. Для аналізу віку злочинців було відібрано у випадковому порядку 300 осіб (10 %). За віком вони розподілились так:
| Вік засуджених, років | 17-21 | 21-25 | 25-29 | 30 та більше |
| Кількість засуджених |
Визначити з імовірністю 0,683 та 0,997 можливі межі:
1) середнього віку засуджених у генеральній сукупності;
2) відсотки засуджених у віці до 17 років в генеральній сукупності. Зробити висновки.
Практичне заняття № 8
Тема: Статистичні методи аналізу взаємозв'язку
Запам’ятайте
За ступенем залежності одного явища від іншого розрізняють два види зв'язку: функціональний (повний) і кореляційний (неповний). При кореляційному зв'язку немає суворої відповідності між значеннями залежних ознак: кожному певному значенню аргументу (факторної ознаки) відповідає кілька різних значень функції (результативні ознаки). Такий, наприклад, зв'язок між дозами винесених добрив і урожайністю сільськогосподарських культур. При тих самих дозах добрив урожайність на різних ділянках неоднакова, тому що урожайність залежить не тільки від добрив, а й від багатьох інших факторів.
Завдання кореляційного аналізу в тому, щоб з багатьох, паралельно одночасно діючих факторів відібрати головний і визначити його вплив на кінцевий результат.
Кореляційний аналіз проводять у такій послідовності:
- логічним шляхом установлюють наявність зв'язку і підбирають кореляційне рівняння;
- розв'язують кореляційне рівняння шляхом визначення параметрів;
- оцінка і аналіз одержаних результатів.
Кореляційний аналіз зв'язків проявляється не в кожному окремому випадку, а в середньому, в цілому для багатьох випадків. Щоб визначати кореляційну залежність між факторною і результативною ознакою, необхідно взяти велике число випадків і розглянути їх у сукупності.
Залежно від форми зв'язку між факторною і результативною ознакою вибирають тип математичного рівняння. Прямолінійну форму зв'язку визначають за рівнянням прямої лінії
Yx=a0+a1x
де Ух - теоретичні значення результативної ознаки;
а і b — параметри рівняння, що обчислюють способом найменших квадратів. Цей спосіб для рівняння прямої приводить до такої системи нормальних рівнянь:
S Y= nb +a S x ,
S YX= b S x + a S x 2,
де n - кількість членів у кожному з двох порівнюваних рядів.
Розв'язавши цю систему рівнянь у загальному вигляді, матимемо формули для визначення параметрів а0 і а1
Оцінка варіації за коефіцієнтом варіації
| Значення коефіцієнта варіації | Оцінка варіації |
| 5% | Варіація слабка |
| 6—10% | Варіація помірна |
| 11—20% | Варіація значна |
| 21—50% | Варіація велика |
| Більше 50% | Варіація дуже велика |
У лінійних моделях тіснота зв'язку між досліджуваними показниками вимірюється за допомогою лінійного коефіцієнта кореляції (Пірсона) r за формулою:
Величина коефіцієнта кореляції і тіснота зв'язку за "Таблицею Чеддока"
| Коефіцієнт кореляції | Тіснота зв'язку |
| 1,00 | Зв'язок функціональний |
| 0,90—0,99 | Дуже сильний |
| 0,70—0,89 | Сильний |
| 0,50—0,69 | Значний |
| 0,30—0,49 | Помірний |
| 0,10—0,29 | Слабкий |
| 0,00 | Зв'язок відсутній |
Крім відображення щільності зв'язку, коефіцієнт кореляції відіграє ще одну важливу роль – через коефіцієнт детермінації (D) він характеризує розмір впливу факторів на результативну ознаку:
.
Рішення типових завдань
Заготівля овочевої сировини консервним комбінатом проводиться в радіусі до 200 км. Відстань перевезень впливає на якість заготовленої сировини таким чином:
| № перевезення | ||||||||||
| Радіус перевезень, км | ||||||||||
| Частка нестандартної сировини, % |
Виходячи з цих даних:
а) опишіть залежність якості овочевої сировини від дальності перевезення лінійною функцією регресії , визначте параметри регресії , поясніть їх зміст;
б) за допомогою лінійного коефіцієнта кореляції оцініть щільність зв’язку між факторною та результуючою ознака ми;
в) перевірте істотність зв’язку між факторною та результуючою ознаками з імовірністю 0,95.
Розв’язок: Так як якість заготівельної сировини залежить від відстані перевезень, то позначимо :
X j– це факторна ознака, тобто радіус перевезень;
yj– це результуюча ознака, тобто частка нестандартної сировини.
Для обчислення параметрів лінійної регресії заповнимо допоміжну таблицю.
| № перевезення n | Радіус перевезень, км | Частка нестандартної сировини, % | ху | х2 | у2 |
| Разом |
Лінійне рівняння: У = а + dх. Визначимо параметри регресії а та b на основі системи нормальних рівнянь:
Розрахуємо середні показники:
Отже, а = 21,4 - 0,101 · 114,2 = 21,4 - 11,53 = 9,87.
Лінійне рівняння регресії набуває вигляду: У = 9,87 + 0,101х.
Проаналізуємо зміст цих параметрів.
Параметр а особливого значення не має, тільки якщо х = 0 цей параметр співпадатиме з У і кількісно виражає цю ознаку.
Параметр b показує, що при збільшенні радіусу на 1 км збільшується відсоток нестандартної сировини на 0,101 %.
Оцінимо щільність зв’язку між ознаками:
Лінійний коефіцієнт кореляції (Пірсона) 
Дисперсія результативної ознаки:
Дисперсія факторної ознаки:
Отже, зв’язок між радіусом перевезень та якістю сировини дуже щільний (залежність - 97,2 % і тільки 2,8 % впливу мають решта факторів) та прямий (пряма залежність між ознаками х та у).
Перевіримо цей зв’язок на істотність.
Для цього потрібно перейти до коефіцієнту детермінації (R2):
Отже, можна стверджувати, що зв’язок прямий та щільний.
Завдання
ЗАДАЧА 1. Заготівля молока молококомбінатом здійснюється в радіусі до 1000 км. Відстань перевезень впливає на якість молока. Виходячи з наведених нижче у таблиці даних:
1) описати залежність якості молока від дальності перевезень лінійною функцією, визначити параметри функції та пояснити її зміст;
2) за допомогою лінійного коефіцієнта кореляції оцінити щільність зв'язку між ознаками.
| Номер перевезень | Радіус перевезень, км | Частка не стандартизованої сировини |
ЗАДАЧА 2. На підставі наведених у таблиці даних аналітичного групування, що характеризує залежність обсягу продукції від вартості основних виробничих засобів, виявити наявність і напрямок кореляційного зв'язку між результативною та факторною ознаками, оцінити щільність зв'язку, перевірити його істотність з рівнем імовірності а = 0,05. Обчислена за первинними даними загальна дисперсія результативної ознаки 
2 = 2,38.
| Група підприємств за обсягом середньої вартості основних виробничих засобів, млн. грн. | Кількість підприємств | Обсяг виробленої продукції в середньому на одне підприємство, млн. грн. |
| 1,6-4,3 | 2,62 | |
| 4,3-7,0 | 4,20 | |
| 7,0-9,6 | 5,70 |
ЗАДАЧА 3. Обчислити кореляційне відношення для характеристики зв'язку між заробітною платою та стажем роботи за наведеними у таблиці даними, якщо загальна дисперсія заробітної плати дорівнює 50 у. г. о.
| Стаж роботи, років | Кількість працівників, осіб | Середня заробітна плата, у.г.о. |
| До 5 | ||
| 5-10 | ||
| 10 і більше | ||
| Всього | - |
ЗАДАЧА 4. За даними опитування 100 жінок виявлено залежність між віком їх вступу у шлюб та тривалістю шлюбних відносин:
| Вік вступу у шлюб | Кількість жінок | Середній термін тривалості шлюбних відносин, років |
| Ранній | ||
| Молодший | ||
| Середній | ||
| Всього | 16,8 |
Загальна дисперсія тривалості шлюбних відносин становить 15 років. Визначити між групову дисперсію та кореляційне відношення. Пояснити зміст.
ЗАДАЧА 5. Зареєстровані службою занятості дані, наведені нижче у таблиці, свідчать про зв'язок між рівнем освіти безробітних та терміном перерви у роботі. Загальна дисперсія терміну перерви у роботі - 5,8 місяця. Визначити міжгрупову дисперсію та кореляційне відношення. Обґрунтувати необхідність перевірки зв'язку та його істотність.
| Рівень освіти | Кількість безробітних, осіб | Середній термін перерви у роботі, місяці |
| Середня загальна | ||
| Середня спеціальна | ||
| Вища | ||
| Всього | 6,1 |
ЗАДАЧА 6 За результатами перевірки якості 20 партій твердих сирів виявлено залежність якості від терміну зберігання. За наведеними у таблиці даними визначити міжгрупову дисперсію, середню з групових та загальну дисперсії зниження якості сиру. Обчислити кореляційне відношення та пояснити його зміст. Перевірити істотність зв'язку з імовірністю 0,95.
| Термін зберігання, місяці | Кількість партій | Зниження якості | Групова дисперсія зниження якості |
| До 2 | 1,3 | 0,08 | |
| 2-4 | 2,8 | 0,13 | |
| 4 і більше | 4,1 | 0,20 | |
| Всього | 2,6 | - |
Знайти рівняння кореляційного зв'язку між виробником та електроозброєністю праці. Проаналізувати параметри рівня регресії.
ЗАДАЧА 7. На підставі наведених у таблиці даних про обсяги капіталовкладень і введення в дію основного капіталу в регіонах України за допомогою рангового коефіцієнта кореляції визначити щільність зв'язку між досліджуваними показниками.
| Регіон (область) | Обсяг капіталовкладень, млн. грн., х | Введено в дію основного капіталу, млн. грн., у |
| Автономна Республіка Крим | ||
| Вінницька | ||
| Волинська | ||
| Дніпропетровська | ||
| Донецька | ||
| Житомирська | ||
| Закарпатська | ||
| Запорізька | ||
| Івано-Франківська | ||
| Київська | ||
| Кіровоградська | ||
| Луганська | ||
| Львівська | ||
| Миколаївська | ||
| Одеська | ||
| Полтавська | ||
| Рівненська | ||
| Сумська | ||
| Тернопільська | ||
| Харківська | ||
| Херсонська | ||
| Хмельницька | ||
| Черкаська | ||
| Чернівецька | ||
| Чернігівська | ||
| м. Київ | ||
| м. Севастополь | ||
| Всього |
ЗАДАЧА 8. За наведеною нижче інформацією щодо групи робітників машинобудівного заводу знайти рівняння кореляційного зв'язку між стажем роботи та виробітком. Проаналізувати параметри рівняння регресії.
| Стаж роботи, роки | |||||
| Виробіток продукції на одного робітника, штук |
ЗАДАЧА 9. Існує така інформацію щодо 10 підприємств
| Вироблено продукції в середньому на одного працюючого, грн., х | ||||||||||
| Електроозброєність праці одного працюючого, кВт-год, у |
Знайти рівняння кореляційного зв’язку між виробником та електроозброєністю праці. Проаналізувати параметри рівня регресії.
ЗАДАЧА 10. За наведеними у таблиці даними визначити:
1) щільність зв'язку між рівнем ВВП на душу населення та коефіцієнтом злочинності;
2) істотність зв'язку з імовірністю 0,9.
Зробити висновки.
| Рік | Рівень ВВП на душу населення, грн. | Коефіцієнт злочинності на 100 тис. осіб населення |