Главная | Обратная связь

Уравнения гидростатики

 

Внутри покоящейся жидкости мысленно выделим бесконечно малый прямоугольный кусочек объёмом (рис. 1.6). Его масса где – плотность. На кусочек со стороны окружающей жидкости действуют сжимающие поверхностные силы давления, которые обозначим Пусть на него действует также массовая сила В соответствии с (1.1) общая массовая сила, действующая на массу равна Так как кусочек неподвижен, сумма всех сил равна нулю:

(а)

Введём систему координат как показано на рис. 1.6. Тогда

В проекциях на оси координат уравнение (а) запишется так:

Следовательно,

(б)

где – координаты вектора

Ввиду одинаковости вида этих выражений займёмся каким-нибудь одним из них, например, вторым:

(в)

Силы, действующие в направлении оси давят на левую и правую грани. Обозначим давление жидкости на левую грань. Площадь левой грани поэтому на неё действует сила Давление на правую грань может отличаться от поэтому обозначим его где добавка к (частный дифференциал, или приращение давления при смещении на расстояние На правую грань действует сила (рис. 1.6). Равенство (в) запишется так:

Рис. 1.6

Раскроем скобки и преобразуем левую часть. Будем иметь

(г)

Так как добавка определяется по формуле

то подстановка в (г) даст

Аналогичные равенства получаются при преобразовании первого и третьего выражений в (б). В итоге получим систему дифференциальных уравнений:

Уравнения гидростатики в скалярной форме

 

 

(1.2)

 

 

Эти уравнения можно записать в компактном виде. Умножим первое уравнение на вектор второе – на третье – на Сложим полученные равенства. Получится

Раскроем скобки и перегруппируем члены

Следовательно,

или

Уравнения гидростатики в векторной форме

Подробно о градиенте и набла-операторе сказано в Приложении.

З а д а ч а 1. Найти если

 Найдём частные производные

В точке М они равны:

Значит, градиент в точке М равен

<