Главная | Обратная связь

Жидкость в неинерциальной системе отсчёта

Рассмотрим две задачи.

1. Сосуд с жидкостью плотности движется поступательно с постоянным горизонтальным ускорением (на рис. 1.13 влево). Найти уравнение свободной поверхности жидкости.

Свободной называется поверхность жидкости, граничащая с газом (например, с воздухом) или с вакуумом.

Введём систему координат связанную с сосудом (рис. 1.13). Относительно этой системы жидкость неподвижна, поэтому можно ис­пользовать уравнения гидростатики (1.2). Определим, какая линия получится при пересечении плоскости со свободной по­ верхностью жидкости.

В задаче участвуют две пере­менные поэтому в систе­ме уравнений (1.2) оставим два уравнения.

На каждый элемент жидко­сти действует сила тяжести и сила инерции так как (на рис. 1.13 видим, что и направлены противопо­ложно). Суммарная сила равна

Рис. 1.13

Находим массовую силу

т.е.

Подстановка в уравнения (1.2) даёт систему уравне­ний

Решаем первое уравнение:

(а)

Подставим во второе уравне­ние системы.

Значение подставим в (а):

(б)

В точке О, т.е. при давление равно

Подстановка в (б) даёт

Полученное значение подставим в (б):

На свободной поверхности ,тогда

– уравнение свободной поверхности.

2. Цилиндрический сосуд вместе с жидкостью плотности равно­мерно вращаются с угловой скоростью вокруг вертикальной оси цилиндра. Найти уравнение свободной поверхности жидкости.

Опыт показывает, что при вращении жидкость будет прижи­маться к стенке сосуда за счёт силы инерции (рис. 1.14).

Направим ось вдоль оси вращения вниз. Введём систему координат свя­занную с сосудом. Мысленно рассмотрим произвольную частицу жидкости массы От оси к этой частице проведём вектор перпендикулярный Частица движется с центростремительным ускоре­нием направленным к оси враще­ния (рис. 1.14). Значит, на неё действует сила инерции

На частицу действует также сила тяжести Поэтому суммарная сила, действующая на частицу, равна Рис. 1.14

Находим массовую силу:

т.е.

Относительно системы координат жидкость неподвижна, по­этому можно использовать уравнения гидростатики (1.2):

(а)

Решение системы даёт следующий результат: свободной поверхностью жидкости является параболоид вращения:

 Выведем это равенство. Решим первое уравнение системы (а):

(б)

Чтобы найти подставим (б) во второе уравнение системы (а). Получим

Это уравнение имеет такой же вид, как и первое уравнение системы. Поэтому его решение подобно (б): Подставим это значение в (б):

(в)

Чтобы найти подставим (в) в третье уравнение системы. Будем иметь

Подставим значение в (в):

(г)

Чтобы найти воспользуемся начальным условием: в точке О: т.е. Подставив эти значения в (в), получим Подставим это значение в (г):

(д)

Применим это равенство к свободной поверхности жидкости. На всей свободной поверхности давление одинаково и равно Подста­вим это значение в (д):

отсюда

■

Глава 2