Главная | Обратная связь

Линии тока и траектории

 

Линия тока– воображаемая линия, идущая вдоль векторов поля скоростей(рис. 2.1).

 

 

Рис. 2.1 Рис. 2.2

 

Итак, векторы касаются линий тока. Как найти уравнение какой-нибудь линии тока?

В пространстве введём систему координат Тогда скорость будет задаваться тремя координатами т. е. На линии тока выделим бесконечно малый кусочек и получим вектор (рис. 2.2). Так как векторы и лежат на одной прямой, их координаты пропорциональны:

 

Уравнения линии тока

 

Переменные величины являются координатами переменной точки М, бегущей по этой линии.

В нестационарном поле векторы могут менять свои направления. Вместе с ними и линии тока с течением времени могут менять свою форму. Значит, линии тока – это воображаемые линии, соответствующие фиксированному моменту времени, их мгновенная фотография. По линиям тока двигались бы частицы, если бы их скорости оставались такими же, как в этот фиксированный момент времени.

Если поле скоростей стационарно, то линии тока не меняются и совпадают с траекториями движущихся частиц.

Траектория– это линия, по которой движется частица.

Траектория определяется системой уравнений

 

З а д а ч а 1. Дано поле скоростей жидкости Найти линии тока и траектории движущихся частиц.

Имеем: – координаты скорости.

1) Линии тока задаются двумя дифференциальными уравнениями:

Решаем первое уравнение: Так как время фиксировано, то интегрированием получим

Решаем второе уравнение: Подставим найденное значение Отделим переменные, и проинтегрируем обе части. Получим

Итак, линии тока описываются системой уравнений

(а)

Найдём линию тока, которая в мо­мент проходит через точку Подставив данные значе­ния в (а), получим Значит,

 

 

Рис. 2.3 Рис. 2.4

 

Наличие переменной говорит о том, что с течением времени эта ли­ния изменяет свою форму и положе­ние в пространстве. Так, в мо­мент времени линия тока зада­ётся системой

а в момент эта линия превратится в линию

Графики этих линий показаны на рис. 2.3 и 2.4.

2) Траектории частиц задаются тремя дифференциальными уравнениями:

где точки над буквами обозначают производные по времени. Например,

Первое уравнение (оно линейное) имеет решение Решение третьего уравнения Подставим эти значения во второе уравнение. Получим Его интегрирование даст Значит,

(б)

Мы нашли уравнения траекторий.

Покажем, что эти траектории не совпадают с линиями тока (а). Из третьего уравнения системы (б) имеем Подставим в остальные равенства:

Обозначив получим

Видим, что эта система уравнений отличается от (а). <

 

 

Расход жидкости

 

Расход – это объём жидкости, протекаю­щей сквозь воображаемую проницаемую поверхность за единицу времени.

В пространство, где течёт жидкость или газ со скоро­стью поместим воображае­мую непод­виж­ную бесконечно малую площадку про­ни­цаемую для жид­кости. На рис. 2.5 показан слу­чай, ко­гда вектор пло­щадки рас­полагается под произ­воль­ным углом к век­тору скоро­сти

Расход жидкости через площадку будет равен

(2.1)

Теперь в пространство, где течёт жидкость или газ, по­местим произвольную по­верхность Мысленно ра­зобьём на бесконечно ма­лые части. Расход сквозь ка­ждую часть определяется по формуле (2.1). Сложив (про­интегрировав) эти расходы, получим расход через всю Рис. 2.5

 

Расход жидкости (газа) через поверхность

(2.2)

 

 

Если сечение перпендикулярно скорости течения: (при этом и скорость во всех точках одина­кова, то из (2.2) будем иметь

(2.3)

Обыкновенно этой формулой пользуются при вычислении расхода жидкости или газа через поперечное сечение трубопровода.

Умножим объём (2.1) на плотность Получим массу жидкости, протека­ющей сквозь за еди­ницу времени

(2.4)

Проинтегрировав (2.4) по поверхности получим массу жидкости, протека­ющей сквозь за еди­ницу времени (массовый расход):

Если поверхность замкнута, то по теореме о дивергенции (П.4.2) это равенство равносильно такому:

(2.5)

– масса жидкости, вытека­ющей из области за еди­ницу времени.

Пусть область мала; обозначим её Тогда из (2.5) получим

(2.6)

– масса жидкости, вытекающей из области за единицу времени.

З а д а ч а 1. Дано поле скоростей текущей жидкости

а) Найти расход через боковую поверхность конуса ограниченного заданными поверхностями:

(а)

б) Найти расход через всю поверхность конуса.

Начертим конус (рис. 2.6). Равенство есть уравнение горизонтальной плоскости. Равенство есть уравнение конической поверхности.

а) Уравнение конической поверхности запишем так:

Находим нормальный вектор

Рис. 2.6

После сокращения на +2 будем иметь

При этом вектор укорачивается, но направление не меняется. Его модуль

Единичный вектор, нормальный к боковой поверхности конуса, равен

Находим скалярное произведение:

Подставим в формулу расхода (2.2):

На поверхности конуса выполняется равенство Подставим это значение:

где круг,проекция боковой поверхности конуса на плоскость Из системы уравнений (а) получим или окружность радиуса

Для вычисления интеграла перейдём к полярной системе координат Тогда и

Ввиду того, что

остаётся

Отрицательность расхода означает, что жидкость в основном втекает через боковую поверхность конуса.

б) Вся поверхность конуса является замкнутой поверхностью, внутри которой находится весь конус поэтому можно воспользоваться формулой Остроградского-Гаусса. Но сначала найдём дивергенцию вектора скорости:

По формуле расхода (2.2) имеем

<