Главная | Обратная связь

Завдання до практичного заняття №3

 

«Формула повної ймовірності та Байєса»

3.1.Виріб перевіряється на стандартність одним із двох товарознавців. Імовірність того, що виріб попаде до першого товарознавця дорівнює 0,7, до другого – 0,3. Імовірність того, що виріб буде визнано стандартним першим товарознавцем 0,92; другим – 0,85. Знайти імовірність того, що виріб буде визнано при перевірці стандартним.

3.2.Відомо, що 34% людей мають першу групу крові, 37% – другу, 21% – третю і 8% – четверту. Хворому з першою групою можна переливати тільки кров першої групи, із другою – кров першої та другої груп, із третьою – кров першої та третьої груп і людині з четвертою групою можна переливати кров будь-якої групи. Яка імовірність, що довільно узятому хворому можна перелити кров довільно обраного донора?

3.3.Відомо, що 80% продукції – стандартні. Спрощений контроль визнає за годну стандартну продукцію з ймовірністю 0,9 і нестандартну з ймовірністю 0,3. Знайти імовірність того, що визнане годним виріб – стандартний.

3.4.Випробовується прилад, який складається з двох вузлів. Надійності вузлів дорівнюють 0,8 і 0,9 відповідно. Вузли відмовляють незалежно один від одного. Через деякий час виявилося, що прилад несправний. Знайти з урахуванням цього ймовірність того, що несправний тільки перший вузол, якщо для відмови приладу достатньо поломки хоча б одного вузла.

3.5.Два автомати випускають деталі. Продуктивність першого в два рази більше другого. Перший автомат дає 12% браку, другий – 23%. Випадково з загальної партії узята деталь виявилася відмінної якості. Знайти імовірність того, що вона зроблена другим автоматом.

3.6.Два автомати випускають деталі. Продуктивність першого вдвічі більше другого. Перший автомат дає 65% деталей відмінної якості, другий – 82%. Випадково з загальної партії узята деталь виявилася відмінної якості. Знайти імовірність, що належать першому автомату.

3.7.Дві секретарки заповнюють документи, які складають у спільну папку. Ймовірність того, що помилки в документі зробить перша секретарка, становить 0,05, а другою – 0,1. Перша секретарка заповнила 20 документів, друга – 30. Навмання взятий з папки документ виявився бракованим. Визначити ймовірність того, що його заповнювала перша секретарка.

3.8.До групи спортсменів входить 20 стрибунів у висоту, шість велосипедистів та чотири бігуни. Ймовірність виконання норми розряду для стрибуна у висоту становить 0,95; для велосипедиста – 0,8; для бігуна – 0,75. Визначити ймовірність того, що вибраний навмання спортсмен виконує норму розряду.

3.9.Є набір радіоламп: три партії по вісім штук, у кожній з яких шість придатних і дві бракованих, і дві партії по 10 штук, із яких сім придатних і три бракованих. Навмання з цих п’яти партій береться одна партія і з цієї партії вибирається одна деталь. Визначити імовірність того, що обрана деталь буде придатною.

3.10.Збирач одержує однакові деталі, що виготовили на трьох верстатах. Імовірність браку для кожного з верстатів відповідно дорівнює 0,02; 0,03; 0,05. На першому верстаті виготовлено 50, на другому 20, на третьому 30 деталей. Знайти імовірність того, що узята випадково деталь буде бракованою.

3.11.Збирач одержує однакові деталі, що виготовляються на двох верстатах, імовірність браку для кожного з верстатів дорівнює відповідно 0,01 і 0,03. На першому верстаті виготовлено – 50, а на другому – 30 деталей. Узята випадково деталь виявилася бракованою, знайти імовірність того, що вона виготовлена на першому верстаті.

3.12.Ймовірність застудитися в дощ людині, яка не займається спортом складає 0,3, а людині, яка займається спортом – 0,1. Яка ймовірність застудитися випадковій людині, якщо спортом займається 35% населення?

3.13.На двох верстатах обробляються однотипні деталі. Імовірність браку для першого верстата складає 0,01, а для другого верстата – 0,02. Оброблені деталі складаються в одне місце, причому перший верстат випускає деталей у три рази більше, ніж другий верстат. Обчислити імовірність, що узята випадково деталь буде бракована.

3.14.На підприємствах «Зоря», «Схід», «Струмочок» випускають однакову продукцію, причому 42% продукції, яка випускається на всіх підприємствах, випускається на «Зорі», 33% – на «Сході», 25% – на «Струмочку». На цих підприємствах браковані вироби зустрічаються з ймовірністю відповідно: 0,02, 0,04, 0,03. З продукції цих заводів узятий навмання виріб. Яка ймовірність того, що він не бракований? Яка ймовірність того, що він випущений підприємством «Зоря»?

3.15.На радіостанції можуть передаватися повідомлення по одному з каналів зв’язку, які знаходяться в різних станах: п’ять каналів у відмінному стані, чотири – в доброму, три – в поганому. Ймовірність передачі повідомлення для різного виду каналів відповідно дорівнює 0,5; 0,3; 0,2. Знайти ймовірність того, що повідомлення було передано по поганому каналу зв’язку, якщо відомо, що воно прийнято правильно.

3.16.На підприємстві виготовляються вироби певного виду на трьох робочих лініях. Продуктивність першої лінії 38% від всього загального виробництва, на другій – 35%, на третій – 27%. Кожна з ліній характеризується відповідно наступними відсотками придатності виробів: 95%; 98% і 97%. Визначити ймовірність того, що наугад узятий виріб, випущений підприємством, виявиться бракованим, а також ймовірність того, що цей бракований виріб зроблений відповідно на першій, другій і третій лініях.

3.17.На складі зберігаються 800 виробів заводу №1 і 1200 виробів заводу №2. Серед виробів заводу №1 в середньому 95% вищої якості, а серед виробів заводу №2 – 80%. Чому рівна ймовірність того, що перший принесений зі складу виявиться низької якості.

3.18.Припустимо, що 5% усіх чоловіків і 0,25% усіх жінок – дальтоніки. Навмання обрана особа страждає дальтонізмом. Яка імовірність, що це чоловік? Вважати, що чоловіків і жінок однакова кількість.

3.19.Серед випускників однієї школи 60% становлять дівчата. Відомо 20% хлопців і 10% дівчат цього випуску збираються вступати до гуманітарних вишів. Яка ймовірність того, що вибраний навмання випускник школи виявиться хлопець, який не збирається вступати до гуманітарного вишу?

3.20.У лабораторії є шість клавішних автоматів і чотири клавішних напівавтомати. Імовірність того, що за час виконання розрахунку автомат не вийде з ладу, дорівнює 0,95, а напівавтомат – 0,8. Робиться деякий розрахунок на навмання обраній машині. Знайти імовірність, що до закінчення розрахунку машина не вийде з ладу.

3.21.У піраміді 10 гвинтівок, з яких чотири з оптичним прицілом. Імовірність ураження цілі з гвинтівки з оптикою дорівнює 0,95; для гвинтівки без оптики – 0,8. Стрілець уразив ціль з випадково узятої гвинтівки. Що імовірніше: стрілець стріляв із гвинтівки з оптичним прицілом чи без нього?

3.22.У понеділок, після двох вихідних, токар Григорій виточує лівогвинтові шурупи замість звичайних правогвинтових з імовірністю 0.5. У вівторок цей показник знижується до середньо-цехового – 0.2. В інші дні тижня Григорій ударно трудиться і відсоток браку серед шурупів, що виготовляються ним, складає 10%. При перевірці тижневої партії шурупів, виточених Григорієм, випадково обраний шуруп виявився дефектним. Яка імовірність того, що шуруп виготовлений у понеділок?

3.23.У продаж надходять телевізори трьох заводів. Продукція першого заводу містить 20% телевізорів із прихованим дефектом, другого – 10% і третього – 5%. Яка імовірність придбати справний телевізор, якщо в магазин поступило 30% телевізорів з першого заводу, 20% – з другого і 50% – з третього?

3.24.У середньому з кожних 100 клієнтів відділення банку 60 обслуговуються першим операціоністом та 40 – другим операціоністом. Ймовірність того, що клієнт буде обслуговуваний без допомогою завідуючого відділення, тільки самим операціоністом, складає 0,9 та 0,75 відповідно для першого та другого співробітників банку. Знайти ймовірність повного обслуговування клієнта першим операціоністом.

3.25.У телеграфному повідомленні "точка" і "тире" зустрічаються в співвідношенні 4:3. Відомо, що спотворюються 25% "точок" і 20% тире. Знайти ймовірність того, що прийнятий переданий сигнал, якщо прийнято "тире".

3.26.Учень 6б класу Костя Гарбузенко і два його приятелі засіли з рогатками в кущах шкільного двору, щоб постріляти по голубах, що воркочуть на карнизі вікна директорського кабінету. Ледь вони зробили по одному пострілу, як шибка з дзенькотом розлетілася, і компанії довелося рятуватися втечею від завгоспа, що вискочив у двір. Яка імовірність того, що розбите вікно справа рук Кості Гарбузенка, якщо з 10 пострілів він звичайно попадає вісім разів, а його приятелі по сім? (Примітка: випадок колективного влучення у вікно виключається.)

3.27.Фірма має три джерела поставки комплектуючих – фірми «Альфа», «Ветта», «Гамма». На частку фірми «Альфа» припадає 50% загального обсягу поставок, «Ветта» – 30% і «Гамма» – 20%. Відомо, що 10% поставляються фірмою «Альфа» деталей браковані, фірмою «Ветта» – 5% і фірмою – 6%. Яка ймовірність, що узята навмання деталь буде бракованою?

3.28.Число вантажних автомашин, що проїжджають по шосе, на якому стоїть бензоколонка відноситься до числа легкових машин, що проїжджають по тому ж шосе як 3:2. Імовірність того, що буде заправлятися вантажна машина дорівнює 0,3; для легкової машини ця імовірність дорівнює 0,2. До бензоколонки під’їхала машина для заправлення. Знайти імовірність того, що це легкова машина.

 

«Формула Бернуллі. Наймовірніше число»

3.29.В середньому 20% пакетів акцій продаються на аукціоні за заявленою ціною. Знайти ймовірність того, що з дев’яти пакетів акцій за первинною ціною буде продано: а) менше двох пакетів, б) хоча б один пакет.

3.30.В середньому по 15% договорів страхова компанія виплачує страхову суму. Знайти ймовірність того, що з 10 договорів з настанням страхового випадку страхова сума виплатить по: а) трьом договорам, б) менше ніж по двом договорам.

3.31.В цеху працює шість моторів. Для кожного мотора імовірність того, що він у даний момент включений дорівнює 0,8. Знайти імовірність того, що в даний момент включені чотири мотори.

3.32.З партії виробів товарознавець відбирає вироби вищого сорту. Імовірність того, що випадково узятий виріб виявиться вищого сорту, дорівнює 0,8. Знайти імовірність того, що з десятьох перевірених виробів тільки п’ять виробів вищого сорту.

3.33.Імовірність влучення в ціль дорівнює 0,3. Визначити імовірність того, що при шести пострілах три кулі потраплять у ціль.

3.34.Імовірність того, що узята напрокат річ буде повернута справною, дорівнює 0,8. Визначити імовірність того, що з п’яти узятих речей три будуть повернуті справними.

3.35.Імовірність хоча б одного влучення в ціль при чотирьох пострілах дорівнює 0,9984. Знайти імовірність влучення в ціль при одному пострілі, якщо при кожному пострілі ймовірність влучення однакова.

3.36.Ймовірність виготовлення якісного виробу рівна 0,9. Яка ймовірність того, що з 4 узятих навмання виробів не менше трьох виявляться якісними?

3.37.Ймовірність звернення у поліклініку кожної дорослої людини у період епідемії грипу дорівнює 0,8. Знайти, серед якого числа дорослих людей можна очікувати, що в поліклініку буде не менше 75 звернень.

3.38.Ймовірність хоча б одного попадання стрільцем в мішень при трьох пострілах рівна 0,973. Знайти ймовірність попадання при одному пострілі.

3.39.На перевезення вантажу направлені чотири автомобілі. Ймовірність знаходження кожної з машин у справному стані дорівнює 0,8. Знайти ймовірність того, що в роботі приймають участь хоча б один з виділених для цього автомобілів.

3.40.Нехай імовірність того, що покупцю необхідне взуття 41-го розміру дорівнює 0,5. Знайти імовірність того, що хоча б один з п’яти перших покупців зажадає взуття 41-го розміру.

3.41.Передбачається, що 10% нових малих підприємств припиняють діяльність протягом року. Знайти ймовірність того, що з шести підприємств два припинять діяльність.

3.42.Серед 10 документів, що поступили в офіс, два оформлені з помилками. Для перевірки наугад узяли чотири документи. Яка ймовірність того, що серед них виявиться: а) хоча б один невірно оформлений документ, б) тільки один невірно оформлений документ.

3.43.Серед 5 рахунків три рахунки оформлено невірно. Ревізор наугад бере п’ять рахунків. Знайти ймовірність того, що серед узятих рахунків: а) два оформлені невірно, б) всі оформлено вірно.

3.44.Студентка Люся зі своїм приятелем Петром катаються на лижах. Люся – першокласна лижниця. Їй нічого не варто з’їхати з довгої крутої гори, на якій потрібно до того ж зробити п’ять поворотів. Що стосується Петра, то його шанси упасти чи не упасти на кожному повороті рівні. Яка імовірність того, що Петро з’їде з гори, упавши не більше двох разів?

3.45.Технологічний процес контролюється за 9 параметрами. Ймовірність виходу кожного параметра за межі технічних допусків складає 0,2. Знайти: а) найімовірніше число параметрів, що виходять за межі технічних допусків і відповідну ймовірність; б) ймовірність виходу за межі технічних допусків не менше чотири параметрів.

3.46.Том Сойєр ставить свого дохлого пацюка на мотузці проти приятельського зламаного будильника, що при підкиданні шести монет випаде три герби. Том вважає, що шанси одержати чи не одержати загаданий результат рівні. Чи прав він?

3.47.У шести тварин є захворювання, причому ймовірність одужання рівна 0,98. Яка ймовірність того, що: а) одужають всі шість тварин, б) одужають чотири?

3.48.Фасувальниця Клава важить пряники в пакети – по 1 кг у пакет. Пакети Клава складає в коробки – по 20 штук у коробку. Кожний з 10 пакетів Клава недоважує. Контролер ВТК Іван Кузьмич підозрює Клаву в нечесності. З десяти довільних коробок він бере по одному пакету на перевірку. Яка імовірність того, що в Івана Кузьмича в руках виявиться три недоважених пакети?

3.49.Фірма вирішила почати розпродаж своїх акцій на біржі. Відомо, що 80% брокерів порадили своїм клієнтам придбати ці акції. Навмання відібрали шість брокерів. Знайти ймовірність того, що принаймні чотири з них запропонували своїм клієнтам купити акції фірми.

3.50.Монету кинуто 5 разів. Знайти імовірність таких подій: а) хоча б один раз з’явиться "герб"; б) "герб" випаде менш 2-х разів.

3.51.Оптова база постачає товар до 90 крамниць. Ймовірність заявки на даний день від кожної крамниці р = 0,4. Знайти найімовірніше число заявок на даний деньта обчислити його ймовірність.

 

«Локальна і інтегральна теореми Муавра-Лапласа. Формула Пуассона»

3.52.В цеху є 100 верстатів однакової потужності, що працюють незалежно один від одного в однаковому режимі, при якому їхній привід виявляється включеним протягом 80% усього робочого часу. Яка імовірність того, що в довільно узятий момент часу виявляться включеними: а) 70 верстатів, 80 верстатів, 86 верстатів; б) від 70 до 80 верстатів.

3.53.Відомо, що в середньому 5% студентів носять окуляри. Яка ймовірність того, що з 200 студентів, що сидять в аудиторії, не менше п’яти носять окуляри?

3.54.Відомо, що імовірність випуску свердла підвищеної крихкості (брак) дорівнює 0,02. Свердла укладаються в коробки по 100 шт. Чому дорівнює імовірність того, що в коробці не виявиться бракованих свердлів?

3.55.Відомо, що імовірність народження хлопчика приблизно дорівнює 0,525. Яка імовірність того, що серед 10 тис. новонароджених виявиться хлопчиків не більше, ніж дівчаток?

3.56.Деяке виробництво дає 1% браку. Яка імовірність того, що з узятих на дослідження 1100 виробів бракованих буде не більше 17?

3.57.Для особи, що дожила до двадцятилітнього віку, імовірність смерті на 21-му році життя дорівнює 0,006. Застраховано групу 10 000 осіб 20-літнього віку, причому кожна застрахована особа внесла 120 грн. страхових внесків за рік. У випадку смерті застрахованої особи родичам виплачується 10 000 грн. Яка імовірність того, що: a) під кінець року страховий заклад виявиться збитковим; б) його прибуток перевищить 600 000 грн.? Який мінімальний страховий внесок варто заснувати, щоб на тих же умовах з імовірністю 0,95 прибуток був не менший за 400 000 грн.?

3.58.Для транспортування помаранч пакують в спеціальні ящики по 250 шт. у кожному. При розпакуванні виявляється, що в середньому 0,4% помаранч зіпсовані. Яка ймовірність того, що у взятому для перевірки ящику виявиться не більше двох зіпсованих плодів?

3.59.Завод відправив на базу 10000 стандартних виробів. Середнє число пошкоджених при транспортуванні виробів складає 0,02%. Знайти ймовірність того, що з 10000 виробів буде пошкоджено: а) три, б) менше трьох.

3.60.Завод відправив на базу 5000 виробів. Ймовірність того, що на шляху виріб зіпсується дорівнює 0,0002. Знайти ймовірність того, що на базу прийде рівно 3 і не більше трьох зіпсованих виробів.

3.61.Імовірність виходу з ладу за час Т одного конденсатора дорівнює 0,2. Визначити імовірність того, що за час Т із 100 конденсаторів вийдуть з ладу а) не менше 20 конденсаторів; б) менше 28 конденсаторів.

3.62.Ймовірність виготовлення на заводі першосортного холодильника складає 0,9. В магазин поступили 100 холодильників. Яка ймовірність, що серед них: а) рівно 92 першосортних; б) число першосортних холодильників коливається в межах від 80 до 90.

3.63.Ймовірність помилки в роботі телефонної станції при кожному виклику складає 0,03. Поступило 100 викликів. Визначити ймовірність більше двох збоїв.

3.64.Ймовірність пошиття костюма першого сорту дорівнює 0,8. В магазин поступили 400 костюмів. Знайти ймовірність наступних подій: а) число першосортних костюмів дорівнює 310; б) число першосортних костюмів не перевищить 310.

3.65.Ймовірність виробництва бракованої деталі рівна 0,008. Знайдіть ймовірність найімовірнішого числа бракованих деталей серед наугад відібраних 1000 деталей.

3.66.Книга видана накладом 100 тис. екземплярів. Ймовірність браку в екземплярі дорівнює 0,0001. Знайти ймовірність того, що наклад містить не більше 5 бракованих книг.

3.67.Магазин одержав 1000 пляшок мінеральної води. Ймовірність того, що при перевезенні пляшка виявиться розбитою, дорівнює 0,003. Знайдіть ймовірність того, що магазин одержить більше двох розбитих пляшок.

3.68.На базу відправлено 10 000 виробів. Ймовірність того, що виріб у дорозі одержить ушкодження, дорівнює 0,0003. Знайти ймовірність того, що на базу прибудуть чотири ушкоджених вироби.

3.69.На факультеті 548 студентів. Імовірність народження кожного студента в деякий конкретний день року дорівнює 1/365. Знайти імовірність того, що найдуться три студенти, у яких день народження – 1 січня. (Указівка. Оцінити ці імовірності, користуючись теоремами Муавра-Лапласа і Пуассона).

3.70.Підручник виданий тиражем 10000 екземплярів. Ймовірність того, що в підручнику є друкарські помилки дорівнюють 0,0001. Знайти ймовірність того, що тираж містить: а) п’ять бракованих книг, б) менше двох бракованих книг.

3.71.При перевірці встановлено, що п’ята частина банків має статутний фонд понад 100 млн. грн. Знайти ймовірність того, що серед 1800 банків такий статутний фонд мають: а) не менше 300, б) від 300 до 400.

3.72.Студентка Люся допомагає професору Аркадію Аристарховичу проводити важливий науковий експеримент над пацюками. Знайти імовірність того, що хоча б 10 пацюків з 50 переживуть Люсин експеримент, якщо вважається, що виживаність нещасливих звірків дорівнює 0,5.

3.73.Телефонна станція обслуговує 1000 абонентів. Протягом години будь-який абонент незалежно від інших може зробити виклик з ймовірністю 0,05. Вимагається знайти ймовірність того, що протягом години було не більше сім викликів.

3.74.У банку, що здійснює кредитування населення, 1000 клієнтів. Кожному з клієнтів надається кредит 500 тис. грош. од. за умовою повернення 110% від цієї суми. Ймовірність неповернення кредиту кожним з клієнтів в середньому складає 0,01. Який прибуток гарантований банку з ймовірністю: а) 0,8;
б) 0,995?

3.75.У деякій місцевості в середньому на кожні 100 вирощених кавунів доводиться один вагою не менше 10 кг. Знайти ймовірність того, що в партії кавунів з цієї місцевості, що містить 400 штук, будуть: а) рівно 3 кавуни вагою не менше 10 кг кожний; б) не менше трьох таких кавунів.

3.76.У передовій науковій лабораторії удалося схрестити картоплю з ананасом. На жаль, саджанці настільки перспективної рослини погано приживаються – з 10 починає плодоносити тільки одне. Юннати з підшефного кружка допомагають вченим у їхніх видатних дослідженнях. Ними висаджено 400 дивних рослин. Знайти імовірність того, що не менше 100 з них будуть незабаром давати врожай.

3.77.Якщо в середньому лівші складають 1% населення, то які шанси на те, що серед 200 осіб: а)виявиться рівно четверо лівш; б) найдеться менш, ніж четверо лівш. (Указівка. Оцінити ці імовірності, користуючись теоремами Муавра-Лапласа і Пуассона)

Контрольні питання

1. Поняття гіпотез.

2. Формула повної ймовірності.

3. Формула Байєса.

4. Формула Бернуллі.

5. Наймовірніше число настання події.

6. Локальна теорема Муавра-Лапласа.

7. Формула Пуасона.

8. Межі використання формули Пуасона.

9. Інтегральна теорема Муавра-Лапласа.

10. Випадки використання локальної та інтегральної формул Муавра-Лапласа.

 

ПРАКТИЧНЕ ЗАНЯТТЯ №4
Тема: Випадкові величини та їх характеристики

 

9. Дискретні випадкові величини та їх характеристики.Література: [15], розд. ІІІ, §15-17, с. 54-60; §19, с. 62-65.

Випадковою величиною називається змінна величина, яка може приймати ті або інші значення в залежності від різних обставин. Випадкова величина називається дискретною, якщо множина значень її скінчена або зчислена.

Законом розподілу дискретної випадкової величини називається перелік її можливих значень і відповідних їм ймовірностей. Закон розподілу є таблиця:

Значення х	x1	x2	…	xn
Ймовірність р	р1	р2	…	рn

де .

Приклад 4.1На студентському потоці організовано лотерею, розігруються дві речі по 10 грн. та одна – 30 грн. Скласти закон розподілу суми чистого виграшу для студента, який придбав один квиток за одну грн. Загалом лотерея нараховує 50 квитків.

Розв’язання.Позначимо х – чистий виграш студента, тоді х – шукана величина і може приймати значення – 1 грн., 9 грн., 29 грн. з урахуванням вартості квитка. Отже,

Чистий прибуток	–1
Ймовірність	0,94	0,04	0,02

де = 0,94 + 0,04 + 0,02 = 1.

Математичним сподіванням дискретної випадкової величини називається сума добутку всіх її значень на відповідні їм ймовірності:

M(x) = x₁p₁ + x₂p₂ + … + x_np_n, (4.1)

де .

Приклад 4.2 У парку організована безпрограшна лотерея. Маємо 1000 виграшів, з них 400 по 50 коп., 300 – по 1 грн., 200 – по 5 грн., 100 – по 10 грн. Знайти середній розмір виграшу для відвідувача парку, що придбав один квиток.

Розв’язання. Середній розмір виграшу дорівнює загальній сумі виграшу, що поділена на загальну кількість виграшів. Тобто:

0,5×400 + 1×300 + 5×200 + 10×100 = 2500 грн.

Середній виграш дорівнює 2500/1000 = 2,5.

З іншого боку, якщо розглянемо закон розподілу

хі	0,5
рі	0,4	0,3	0,2	0,1

то таку ж величину отримаємо при знаходженні суми добутку значень випадкових величин на відповідні ймовірності

M(x) = 0,5×0,4 + 1×0,3 + 5×0,2 + 10×0,1 = 2,5.

Найбільш розповсюджена міра розсіювання – це дисперсія та безпосередньо отримане з неї середнє квадратичне відхилення.

Дисперсія

ппре

– це математичне сподівання квадратів відхилень випадкової величини Х: (х_і – а)² і позначається D(x) або s²(x), тобто

D(x) = M[x – M(x)]² Þ D(x) = (х_і – а)²×p_i, (4.2)

де а – математичне сподівання випадкової величини або

D(x) = M(x²) – M²(x). (4.3)

Середнім квадратичним відхиленням випадкової величини Xназивається арифметичне значення квадратного кореня від дисперсії, тобто:

s(x) = . (4.4)

Нехай дискретна випадкова величина задана законом розподілу. Розглянемо подію, яка полягає в тому, що випадкова величина Yнабуде яке-небудь значення менше будь-якого числа X. Ця подія має певну ймовірність.

 

xi	x1	x2	…	xn
рi	р1	р2	…	рn

 

Позначимо F(x) = P(y < x).

При зміні X будуть змінюватися і ймовірності. Отже F(x)можна розглядати як функцію змінної величини X.

Функцією розподілу випадкової величини Y називається функція F(x), яка виражає для кожного X ймовірність того, що Y прийме яке-небудь значення менше заданого. F(x) – постійна на інтервалах та має скачки в точках, що відповідають її значенням.

Властивості функції розподілу.

1. Ймовірність того, що випадкова величина Y набуде значення, що належить відрізку [x₁; x₂], дорівнює прирощенню її функції розподілу на цій ділянці, тобто

P(x₁ £ y £ x₂) = F(x₂) – F(x₁). (4.5)

2. Функція розподілу будь-якої випадкової величини є неспадна функція і змінюється від 0 до 1, при зміні xвід (–¥; ¥), тобто , .

Приклад 4.3 Команда нараховує два стрільців. Кількість балів, що вибиваються кожним з них після одного пострілу, є випадкові величини X та Y, які характеризуються такими законами розподілу:

 

Число балів xi
P(xi)	0,3	0,4	0,3

 

Число балів yi
P(yi)	0,1	0,1	0,1	0,2	0,5

 

Причому результати пострілів одного з них не впливають на результати іншого.

Потрібно а) скласти закон розподілу числа балів, що вибиваються командою, якщо стрільці роблять по одному пострілу; б) знайти математичне сподівання та дисперсію для команди; в) скласти та побудувати функцію розподілу.

Розв’язання.

1. Складемо таблицю

 

№	xi	yi	xi + yi	P(xi + yi) = P(xi)×P(yi)
				0,3×0,1=0,03
				0,3×0,1=0,03
				0,3×0,1=0,03
				0,3×0,2=0,06
				0,3×0,5=0,15
				0,4×0,1=0,04
				0,4×0,1=0,04
				0,4×0,1=0,04
				0,4×0,2=0,08
				0,4×0,5=0,2
				0,3×0,1=0,03
				0,3×0,1=0,03
				0,3×0,1=0,03
				0,3×0,2=0,06
				0,3×0,5=0,15

 

Таким чином, закон розподілу числа отриманих балів команди буде:

 

xi
pi	0,03	0,07	0,1	0,13	0,26	0,26	0,15

 

2. Знаходимо математичне сподівання:

М(х) = = 4×0,03 + 5×0,07 + 6×0,1 + 7×0,13 + 8×0,26 + 9×0,26 + 10×0,15 = 7,9.

Для знаходження дисперсії скористуємось формулою (4.3). Для чого, спочатку обчислимо математичне сподівання випадкової величини х2 і складемо закон розподілу цієї величини:

 

х2
рі	0,03	0,07	0,1	0,13	0,26	0,26	0,15

 

Таким чином, отримаємо:

М(х²) = 16×0,03 + 25×0,07 + 36×0,1 + 49×0,13 + 64×0,26 + 81×0,26 + 100×0,15 = 64,9.

і оскільки М2(х) = 62,41, то отримаємо дисперсію: D = 64,9 – 62,41 = 2,49.

3. Функцію розподілу знаходимо за визначенням P(x₁ £ x < x₂) = F(x), тобто,

1) P(– ¥ £ x < 4) = 0;

2) P(4 £ x < 5) = 0,03;

3) P(5 £ x < 6) = 0,03 + 0,07 = 0,1;

4) P(6 £ x < 7) = 0,1 + 0,1 = 0,2;

5) P(7 £ x < 8) = 0,2 + 0,13 = 0,33;

6) P(8 £ x < 9) = 0,33 + 0,26 = 0,59;

7) P(9 £ x < 10) = 0,59 + 0,26 = 0,85;

8) P(10 £ x < ¥) = 0,85 + 0,15 = 1.

Тоді, графік функції розподілу матиме такий вигляд (рис. 1.3):

Рис. 1.3 Графік функції розподілу

 

Приклад 4.4 Вірогідний прогноз для відсоткової зміни вартості акцій по відношенню до їх поточного курсу (величина Х) протягом шести місяців представлений у вигляді закону розподілу

 

X
pi	0,1	0,1	0,2	0,3	0,2	0,1

 

Знайти ймовірність того, що покупка акцій буде більш вигідною, ніж розміщення грошей на банківський депозит під 3% на місяць строком на 6 місяців.

Розв’язання. Приріст суми на банківському депозиті за умов 3% на місяць складе через 6 місяців [(1,03)⁶ – 1]×100% = 19,4%. Ймовірність того, що покупка акцій вигідніше банківського депозиту, визначається сумою ймовірностей, відповідних більш високому росту курсу акцій: P(X > 19,4) = 0,3 + 0,2 + 0,1 = 0,6.

Приклад 4.5 Нехай щоденні витрати на обслуговування та рекламу автомобілів у автосалоні складають в середньому 120 тис. грош. од., а число продаж автомашин (Х) протягом дня підпорядковане закону розподілу:

 

X
pi	0,25	0,2	0,1	0,1	0,1	0,1	0,05	0,05	0,025	0,025

 

Знайти математичне сподівання щоденного прибутку при ціні машини у 150 тис. грош. од. та дисперсію щоденної продажі числа автомашин.

Розв’язання. Щоденний прибуток обчислюється за формулою:
П = (150Х – 120). Шукана характеристика М(П) знаходиться з використанням властивостей математичного сподівання (тис. грош. од.): М(П) = М(150Х –120)= = 150 М(Х) – 120. Знайдемо за формулою (4.1) значення М(Х) = 0×0,25 + 1×0,2 +
+ 2×0,1 + 3×0,1 + 4×0,1 + 5×0,1 + 6×0,05 + 7×0,05 + 8×0,025 + 9×0,025 = 2,675. Таким чином математичне сподівання щоденного прибутку складе: М(П) = 150×2,675 –
– 120 = 281,25 тис. грош. од.

Дисперсію знайдемо за формулою (4.3) і для цього знайдемо математичне сподівання М(Х²) = 0×0,25 + 1×0,2 + 4×0,1 + 9×0,1 + 16×0,1 + 25×0,1 + 36×0,05 +
+ 49×0,05 + 64×0,025 + 81×0,025 = 13,475. Тоді шукана величина дисперсії буде такою: D(X) = 13,475 – 2,675² = 6,319.

Приклад 4.6 Банк видав кредити 1000 різним позичальникам в розмірі 100 тис. грош. од. кожному під ставку позикового відсотка 30%. Знайти математичне сподівання, дисперсію та середньоквадратичне відхилення прибутку банку, якщо ймовірність повернення кредиту позичальником дорівнює p = 0,85.

Розв’язання. Оскільки постачальник між собою не пов’язані, то можна вважати, що маємо 1000 незалежних випробувань. Ймовірність утрати кредиту для банку в кожному випробуванні дорівнює q = 1 – p = 1 – 0,85 = 0,15. Нехай Х – число постачальників, що повернули кредит з позиковими відсотками, тоді прибуток банку визначається за формулою: П=(1+30%/100%)×100×Х –1000×100 = = 130Х – 100 000.

Х є випадковою величиною з біноміальним законом розподілу, тобто ймовірність кожного х_і обчислюється за формулою Бернуллі. У цьому випадку математичне сподівання прибутку, згідно формули (4.1), дорівнює: М(П) = 130´ ´ М(Х) – 100 000 = 130×1000×0,85 – 100 000 = 10 500 тис. грош. од.

Використовуючи властивості дисперсії та формули обчислення дисперсії для біноміального закону розподілу випадкової величини, одержимо дисперсію прибутку банку: D(П) = D(130×X – 100 000) = 130²×1000×0,85×0,15 = 2154750 тис. грош. од. За формулою (4.4) обчислюємо середньоквадратичне відхилення прибутку s(П) = = 1467,91 тис. грош. од.

Зауваження. Оскільки видача кредиту має зміст тільки при додатному математичному сподіванні прибутку (додатна середня величина прибутку), то позначивши n – кількість позичальників, S – розмір кредиту, r – ставка позикового відсотка, p – ймовірність повернення кредиту позичальником, q – ймовірність втрати кредиту для банку та з умови M(П) > 0 можна записати умову на ставку позикового відсотка r > 100q/p або r > 100(1 – p)/p.

10. Неперервні випадкові величини та їх характеристики.Література: [15], розд. ІІІ, §20-21, с. 66-72.

Випадкова величина – називається неперервною, якщо функція розподілу її скрізь безперервна, а похідна функції безперервна в усіх точках, за винятком зліченного числа точок на будь-якому скінченому інтервалі.

Для безперервної величини, імовірність того, що величина Y набуде значення, що входить в інтервал [x₁; x₂], дорівнює різниці функції розподілу, тобто

 

P(x₁ £ Y £ x₂) = F(x₂) – F(x₁). (4.6)

Щільністю ймовірностіf(x) називається похідна від функції розподілу випадкової величини

f(x) = F ¢(x). (4.7)

Інакше, функцію розподілу можна знайти, якщо відома щільність розподілу за формулою:

. (4.8)

Функція f(x) характеризує щільність, з якою розподіляються значення випадкової величини в даній точці. Інколи f(x) називають диференціальною функцією розподілу, або диференціальним законом розподілу.

Крива, що відображає щільність розподілу випадкової величини, називається кривою розподілу.

Властивості щільності розподілу.

1. Щільність розподілу – невід’ємна функція, тобто геометрично значить, що всі криві вище OX.

2. , (4.9)

отже на усьому інтервалі х Î (–¥;¥) подія вірогідна.

Теорема. Імовірність того, що безперервна випадкова величина x набуде яке-небудь значення з інтервалу (a, b), рівна визначеному інтегралу:

. (4.10)

Зауваження. Функція розподілу F(x), як і всяка ймовірність, є величина безрозмірна. Розмірність щільності розподілу обернена розмірності випадкової величини.

Математичним сподіваннямM(x)безперервної випадкової величини x, щільністю ймовірності якої є функція f(x), називається величина інтегралу:

, (4.11)

а дисперсія , (4.12)

або . (4.13)

Приклад 4.7Випадкова величина Х підпорядкована закону розподілу з щільністю f(x), причому

Потрібно: а) знайти коефіцієнт а; б) побудувати графік розподілу щільності y = f(x); в) знайти імовірність попадання випадкової величини в інтервал (1,2); г) знайти функцію розподілу F(x).

Розв’язання. а) Оскільки всі значення випадкової величини знаходяться в інтервалі (0; 3), то за формулою (4.9): Þ a = 2/9.

б) Графік розподілу щільності наведений на рис. 1.4.

в) За визначенням знаходимо шукану ймовірність попадання випадкової величини в зазначений інтервал (4.10):

Рис. 1.4

P(1 < x < 2) = .

г) функцію розподілу знаходимо за формулою (4.8): .