Кинематика поступательного движения
В кинематике рассматриваются законы изменения перемещения, скорости и ускорения движущегося тела. Для описания поступательного движения используются линейные вектора Положение точки относительно системы координат задается радиус-вектором или координатами. Например, тело находится в точке А(x1, y1, z1), ее положение определяется радиус-вектором , где i, j, k –единичные вектора, направленные вдоль координатных осей x,y,z.Пусть тело перемещается в точку В(x2, y2, z2), . Тогда вектор перемещения: . Еще вспомним о свойствах векторов: 1) длина вектора равна корню из суммы квадратов его проекций на координатные оси, например: 2) скалярное произведение векторов – скалярная величина равная произведению длин векторов на синус угла между ними или сумме произведений соответствующих координат: . 3) сложение и вычитание векторов: Скорость движения – перемещение тела за единицу времени, равно первой производной перемещения по времени: ; . Соответственно, перемещение – интеграл скорости по времени: , интеграл равен площади фигуры под графиком зависимости скорости от времени. При решении задач часто предлагается именно этот качественный метод решения, в котором рассматривается дифференциально интегральная взаимосвязь. Ускорение движения – изменение скорости за единицу времени, равно первой производной скорости по времени: ; . Соответственно, изменение скорости – интеграл скорости по времени: , интеграл равен площади фигуры под графиком зависимости ускорения от времени. Напомним формулы:
1) площадь прямоугольного треугольника - половина произведения катетов (s=(a∙b)/2); 2) площадь трапеции – произведение высоты на полусумму оснований (s=h∙(a+b)/2).
Пример 1.1.На графике изображена линейная зависимость скорости от времени. Определите: ускорение движение; закон скорости;перемещение от 2 до 4 секунды.
Решение: на графике изображена линейная зависимость скорости от времени (это случай равноускоренного движения), следовательно, ускорение и уравнение движения: , ; t=6c; v=4м/с ; =1+0,5t. Перемещение найдем по площади фигуры под графиком скорости – это трапеция . Вспомним законы движенияв случаях прямолинейного движения: направлены по касательной к траектории (ускорение при ускоренном движении совпадает по направлению со скоростью, а при замедленном - противоположно). а) равномерное прямолинейное движение ; ; ;
б) равноускоренное прямолинейное движение ; ; При криволинейном поступательном движении перемещение и скорость направлены по касательной к траектории, а ускорение направлено внутрь кривизны траектории. Направление ускорения точки при движении по окружности: 2 – при ускоренном движении; 3 – при равномерном движении; 4 - при замедленном движении. При м движении изменяется величина и направление скорости, поэтому используют разложение ускорения на две составляющие: .
Тангенциальное ускорение отвечает за изменение величины скорости( , равно первой производной величины скорости по времени, направлено по касательной к траектории. Нормальное (центростремительное) ускорение отвечает за изменение направления скорости, равно отношению квадрата скорости к радиусу кривизны траектории ( , направлено вдоль радиуса к центру кривизны траектории. Пример 1.2.Диск катится равномерно по горизонтальной поверхности со скоростью v0 без проскальзывания. Вектор скорости точки А, лежащей на ободе диска, ориентирован в направлении … Решение: мгновенная линейная скорость всегда направлена по касательной к траектории, точка А движется с ободом колеса вниз, значит ее скорость направлена вдоль вектора (3). Пример 1.3.Материальные точки движутся по окружности. На рисунке показаны графики проекций скорости от времени (vt). Какими будут величины для нормального и тангенциального ускорения? Решение: все точки движутся по окружности, значит, во всех случаях нормальное ускорение не равно нулю . 1) точка (1) движется равномерно, значит, 2) Точка (2) движется равноускоренно, значит, . 3) Точка (3) движется равнозамедленно, значит, . Пример 1.4. Точка движется по спирали с постоянной по величине скоростью. Как при этом изменяется величина нормального ускорения?Решение: нормальное ускорение определяется по формуле , следовательно, если величина скорости постоянна, а радиус кривизны увеличивается, нормальная составляющая ускорения уменьшается. (Если точка движется в обратном направлении, т.е. радиус уменьшается – ускорение будет увеличиваться). Пример 1.5. Материальная точка М движется по окружности со скоростью V. На рис.1 показан график зависимости тангенциальной составляющей скорости Vtот времени. На рис. 2 укажите направление ускорения точки в момент времени t1.
Решение: при криволинейном движении ускорение всегда направлено внутрь кривизны траектории. Направление (2) соответствует ускоренному движению, направление (4) – замедленному, а направление (3) – равномерному вращению. В момент времени t1 скорость увеличивается – это ускоренное движение. Ответ: направление 4.
©2015 arhivinfo.ru Все права принадлежат авторам размещенных материалов.
|