Здавалка
Главная | Обратная связь

Гармонические осцилляторы



Примерами гармонического осциллятора являются пружинный, физический и математический маятники, колебательный контур (для токов и напряжений столь малых, что элементы контура модно было бы считать линейными).

Пружинный маятник —это груз массой m, подвешенный на обсолютно упругой пружине и совершающий гармонические колебания под действием упругой силы , где k ― жесткость пружины. Уравнение движения маятника: ,

из которого следует, что пружинный маятник совершает гармонические колебания по закону с циклической частотой и периодом .

Пример 14.4.Тело массой m прикрепленное к пружине жесткостью k, может без трения двигаться по горизонтальной поверхности (пружинный маятник).

ЕслиА — амплитуда, то при смещении тела из положения равновесия на величинуx=A/2 скорость тела составит …

£ £ £ R

Решение: пружинный маятник совершает гармонические колебания по закону с циклической частотой . Когда тело смещается на величину , справедливы соотношения: и , а фаза колебаний — равна 60º. Тогда скорость: Физический маятник — это твердое тело. Совершающее под действием силы тяжести колебания вокруг неподвижной горизонтальной оси, проходящей через точкуО, не совпадающую с центром масс С тела. Уравнение движения маятника, при малых углах его отклонения из положения равновесия, имеет вид:

,

из которого следует, что физический маятник совершает гармонические колебания по закону с циклической частотой и периодом , гдеJ― момент инерции маятника относительно оси колебаний; l — расстояние от центра масс маятника до оси колебания; — приведённая длина физического маятника.

Пример 14.5.Однородный стержень длинной l0=30см совершает гармонические колебания около неподвижной горизонтальной оси, проходящей конец стержня. Определить приведенную длину L колебаний данного физического маятника.

£ R £ £

Решение: период колебаний физического маятника , где l — расстояние центра тяжести маятника от точки подвеса, в данном случае l=l0/2. Момент инерции стержня длиной l0 и массой m относительно оси, проходящей перпендикулярно через конец стержня . Отсюда, подставив выражение для J в выражение для T, получаем . Приведенная длина физического маятника L такова, что период колебаний математического маятника длиной L равен периоду колебаний физического маятника. Поэтому длина приведенная L может быть найдена из уравнения . Отсюда: .

Математический маятник ― это идеализированная система, состоящая из материальной точки массой m, подвешенной на нерастяжимой невесомой нити, и колеблющаяся под действием силы тяжести. Уравнение движения маятника, при малых углах его отклонения от положения равновесия, имеет вид:

,

из которого следует, что физический маятник совершает гармонические колебания по закону с циклической частотой и периодом , где; l — длина маятника.

Пример 14.6. На рисунках изображены зависимости от времени скорости и ускорения материальной точки, колеблющейся по гармоническому закону.

Циклическая частота колебаний точки равна …

£ £ R £

Решение: амплитудные значение скорости и ускорения определяются по формулам и соответственно, гдеА — амплитуда координаты (максимальное смещение материальной точки), ω0 ― циклическая частота. Используя графики, находим: и . Следовательно, .

Колебательный контур -цепь, состоящая из включенных последовательно катушки индуктивностью L, конденсатора емкостьюС и резистора сопротивлением R. Уравнение свободных гармонических колебаний заряда в контуре, имеет вид:

,

из которого следует, что заряд Q совершает гармонические колебания по закону , где Qmax ― амплитуда колебание заряда с циклической частотой , называемой собственной частотой контура, и периодом . Энергия колебательного контура: ,

где U — напряжение между обкладками конденсатора; I – сила тока.

Пример 14.7. Если в колебательном контуре индуктивность катушки увеличить в 2 раза, то период колебаний …

£увеличится в 2 раза£уменьшится в 2 разаRувеличится в раза£уменьшится в раза

Решение: в колебательном контуре, состоящем из катушки индуктивности и конденсатора, период собственных колебаний равен , где L — индуктивность катушки, С ― емкость конденсатора. Следовательно, при увеличении индуктивности катушки в 2 раза период колебаний возрастет в раза.

Пример 14.8. Электрический колебательный контур радиоприемника настроен на длину волны λ. Как изменятся характеристики процесса колебаний в контуре, если расстояние между пластинами плоского конденсатора увеличить? Установите соответствие между физическими величинами и характером их изменения.

А) период колебаний

В) собственная частота колебаний

С) длина волны

Вувеличится А,Суменьшится £ не изменится

Решение: емкость плоского конденсатора определяется соотношением , где ― электрическая постоянная, e— диэлектрическая проницаемость среды, S ― площадь пластин конденсатора, расположенных на расстоянии d друг от друга. Согласно условию задания расстояние d между пластинами плоского конденсатора увеличили, следовательно: емкость конденсатора уменьшится. Период собственных колебаний контура равен , где L — индуктивность катушки, С ― емкость конденсатора. При уменьшении емкости период колебаний тоже уменьшится. Собственная частота колебаний контура связана с емкостью конденсатора соотношением , поэтому при уменьшении емкости собственная частота колебаний увеличивается. Период колебаний прямо пропорционален длине волны и при уменьшении периода, длина волны уменьшится.

Пример 14.9. Напряжение на клеммах конденсатора в колебательном контуре меняется с течением времени согласно графику на рисунке. Какое преобразование энергии происходит в контуре в промежутке от 2×10-3с до 3×10-3 с?

£ энергия магнитного поля катушки уменьшается от максимального значения до 0

£ энергия магнитного поля катушки преобразуется в энергию электрического поля конденсатора

R энергия электрического поля конденсатора преобразуется в энергию магнитного поля катушки

£ энергия электрического поля конденсатора увеличивается до максимального значения

Решение: рассмотрим свободные электромагнитные колебания — колебания, происходящие в идеальном колебательном контуре за счет расходования сообщенной этому контуру энергии, которая в дальнейшем не пополняется. Рисунок иллюстрирует характерные стадии колебаний в контуре за один период.

Отсчет времени t производится с момента подключения к контуру заряженного конденсатора. В первую четверть периода (промежутке времени от 0 доТ/4 ) конденсатор, разряжаясь, создает через контур ток I, идущий по часовой стрелке, и энергия электростатического поля конденсатора превращается в энергию магнитного поля катушки. Во вторую четверть периода (промежутке времени отТ/4 до Т/2) конденсатор перезаряжается и магнитного поля катушки превращается в энергию электрического поля конденсатора. В третью четверть периода (промежутке времени отТ/2 до 3Т/4) конденсатор вновь разряжается и энергия электрического поля конденсатора преобразуется в энергию магнитного поля катушки. В последнюю четверть периода (в промежутке времени от 3Т/4 до Т) сила тока в контуре уменьшается, а возникшая в катушке ЭДС самоиндукции препятствует этому. Следовательно, магнитная энергия превращается в электрическую энергию. Согласно графику задания промежуток времени от 2•10-3 с до 3•10-3 с является третьей четвертью периода колебания контура. Значит: на этом участке энергия электрического поля конденсатора преобразуется в энергию магнитного поля катушки.







©2015 arhivinfo.ru Все права принадлежат авторам размещенных материалов.