 |
|
Тема 20. Спектр атома водорода. Правило отбора
Исходя из постулатов Н. Бора:
Первый постулат Бора (постулат стационарных состояний): атомная система может находится только в особых стационарных или квантовых состояниях, каждому из которых соответствует определенная энергия En. В стационарных состояниях атом не излучает.
Второй постулат Бора (правило частот): при переходе атома из одного стационарного состояния с энергией En в другое стационарное состояние с энергией Em излучается или поглощается квант, энергия которого равна разности энергий стационарных состояний:
hνnm = En – Em
где h – постоянная Планка. Отсюда можно выразить частоту излучения:
νnm = (En – Em)/h
В видимой области излучения атома водорода наблюдаются дискретные спектральные линии (так называемый линейчатый спектр). Закономерности, которым подчиняются длины волн (или частоты) линейчатого спектра описываются формулой Ридберга:
где nи m– числа, характеризующие состояние электрона с энергией En и Em, соответственно. R = 3,29×1015 Гц – постоянная Ридберга.
Серия Лаймана - 
m = 1, n = 2, 3, 4, ... (ультрафиолетовая часть спектра)
Серия Бальмера - 
m = 2, n = 3, 4, 5, ... .(видимая часть спектра)
Серия Пашена - 
m = 3, n = 4, 5, 6, ... (инфракрасная часть спектра)
Согласно принципу Паули: 1) системы фермионов встречаются в природе только в состояниях, описываемых антисимметричными волновыми функциями; 2) В системе одинаковых фермионов любые два из них не могут находиться в одном и том же состоянии.
Полное состояние электрона в атоме характеризуется квантовыми числами: главным, орбитальным, магнитным и магнитным спиновым:
Главное квантовое число (n = 1, 2, 3…) определяет энергетические уровни электрона в атоме: 
.
Момент импульса (механический орбитальный момент) электрона: 
, где l = 0, 1, …, (n-1),– орбитальное квантовое число, определяет момент импульса электрона в атоме.
Вектор момента импульса электрона (Ll )может иметь лишь такие ориентации в пространстве, при которых его проекция на направление z внешнего магнитного поля принимает квантованные значения: 
, где ml = 0, ±1, ±1,…, ±l, - магнитное квантовое число, определяет проекцию момента импульса электрона на заданное направление.
Собственный механический момент импульса электрона (спин) Ls: 
,где s – спиновое квантовое число (s = 1/2).
Пример 20.1.На рисунке схематически изображены стационарные орбиты электрона в атоме водорода согласно модели Бора, а также показаны переходы электрона с одной стационарной орбиты на другую, сопровождающиеся излучением кванта энергии. В ультрафиолетовой области спектра эти переходы дают серию Лаймана, в видимой – серию Бальмера, в инфракрасной – серию Пашена. Наибольшей частоте кванта в серии Пашена (для переходов, представленных на рисунке) соответствует переход …
Решение: Серию Пашена дают переходы на третий энергетический уровень m = 3, при этом энергия испускаемого кванта, следовательно, и его частота зависят от разности энергий электрона в начальном n и конечном m состояниях: 
. Поэтому наибольшей частоте кванта в серии Пашена (для переходов, представленных на рисунке) соответствует переход n = 5 → m = 3.
Пример 20.2.На рисунке дана схема энергетических уровней атома водорода, а также условно изображены переходы электрона с одного уровня на другой, сопровождающиеся излучением кванта энергии. В ультрафиолетовой области спектра эти переходы дают серию Лаймана, в видимой области – серию Бальмера, в инфракрасной области – серию Пашена и т.д. Отношение минимальной частоты линии в серии Бальмера νmin Б к максимальной частоте линии в серии Лаймана νmin Л спектра атома водорода равно …
Решение: Энергия испускаемого кванта, следовательно, и его частота зависят от разности энергий электрона в начальном n и конечном m состояниях: 
. Серию Лаймана дают переходы на первый энергетический уровень m = 1, серию Бальмера – на второй уровень m = 2. Максимальная частота линии в серии Лаймана будет наблюдаться при переходе с максимально возможного уровня n = ∞: 
. Минимальная частота линии в серии Бальмера наблюдается при переходе электрона с третьего уровня n = 3: 
. Тогда 
.
Пример 20.3.Главное квантовое число n определяет …
Решение: энергию стационарного состояния электрона в атоме 
, где Z – заряд ядра, m – масса электрона, e –заряд электрона, h – постоянная Планка, ε0 – диэлектрическая проницаемость.
Пример 20.4.Собственные функции электрона в атоме водорода Ψnim(r,θ,φ) содержат три целочисленных параметра: n, l и m. Параметр n называется главным квантовым числом, параметры l и m – орбитальным (азимутальным) и магнитным квантовыми числами соответственно. Орбитальное квантовое число l определяет …
Решение: Момент импульса (механический орбитальный момент) электрона квантуется, принимает дискретные значения: 
, где l = 0, 1, …, (n-1),– орбитальное квантовое число, определяет модуль момента импульса электрона в атоме.
Пример 20.5. Момент импульса электрона в атоме и его пространственные ориентации могут быть условно изображены векторной схемой, на которой длина вектора пропорциональна модулю орбитального момента импульса 
электрона. На рисунке приведены возможные ориентации вектора 
. Минимальное значение главного квантового числа n для указанного состояния равно …
Решение: Магнитное квантовое число m определяет проекцию вектора орбитального момента импульса на направление внешнего магнитного поля: Lez = mħ, где m= 0, ± 1, ± 2,…, ± l (всего 2l + 1 значений). В свою очередь орбитальное квантовое число l может принимать следующие значения l = 0, 1,…, (n - 1). Следовательно, для указанного состояния l = 2 минимальное значение главного квантового числа n равно 3.