 |
|
Тема 21. Дуализм свойств микрочастиц. Соотношение неопределенностей Гейзенберга
Согласно Л. де Бройлю, с каждым микрообъектом связаны, с одной стороны, корпускулярные характеристики – энергия E и импульс p, а с другой стороны, волновые характеристики – частота ν и длина волны λ:
,
где с = 3∙108 м/с - скорость света. Любой частице, обладающей импульсом, сопоставлялся волновой процесс с длиной волны λ = h/p. Для частиц, имеющих массу:
.
Проявлением двойственной корпускулярно-волновой природы материальных микрообъектов является соотношение неопределенностей Гейзенберга:
где величина Δx - неопределенностью измерения координаты. В то же время точность определения x – составляющей импульса Δpx. Соотношение неопределенностей не связано с несовершенством применяемых приборов для одновременного измерения координаты и импульса микрочастицы.
Пример 21.1.Неопределенность в определении местоположения частицы, движущейся вдоль оси x, равна длине волны де Бройля для этой частицы. Относительная неопределенность ее скорости не меньше _____ %.
Решение: Из соотношения неопределенностей Гейзенберга для координаты и соответствующей компоненты импульса ≥ h/2π следует, что Δx·m·Δυx ≥ h/2π. Здесь Δx – неопределенность координаты, ·Δpx – неопределенность x-компоненты импульса, Δυx – неопределенность x-компоненты скорости, m – масса частицы; h – постоянная Планка.
Из условия, что Δx = λ, где λ – длина волны де Бройля, равная 
. Подставляя выражение в соотношение неопределенностей, получаем: 
, следовательно 
.
Пример 21.2.Отношение неопределенностей проекций скоростей нейтрона и α-частицы на некоторое направление при условии, что соответствующие координаты частиц определены с одинаковой точностью, равно …
Решение: Из соотношения неопределенностей Гейзенберга для координаты и соответствующей компоненты импульса Δx·Δpx ≥ h/2π следует, что Δx·m·Δυx ≥ h/2π. Здесь Δx – неопределенность координаты, ·Δpx – неопределенность x-компоненты импульса, Δυx – неопределенность x-компоненты скорости, m – масса частицы; h – постоянная Планка.
Неопределенность x-компоненты скорости можно найти из соотношения 
. Поскольку соответствующие координаты частиц определены с одинаковой точностью Δxn = Δxα , массы определяются, как mα = 2mp + 2mn = 4mn , то искомое отношение равно: 
.
Пример 21.3.Если протон и дейтрон прошли одинаковую ускоряющую разность потенциалов, то отношение их длин волн де Бройля равно …
Решение: Дейтрон – ядро тяжелого изотопа водорода (дейтерия). Длина волны де Бройля определяется по формуле 
, где p – импульс частицы. Импульс частицы можно выразить через ее кинетическую энергию: 
.
По теореме о кинетической энергии, согласно которой работа сил электрического поля идет на приращение кинетической энергии, 
. Пусть первоначально частица покоилась, тогда: 
.
Длины волны де Бройля через ускоряющую разность потенциалов имеет вид 
Учитывая, что массы протона и дейтрона соотносятся как: md/mp = 2, а заряд одинаковый qd = qp, то отношение длин волн де Бройля протона и дейтрона равно: 
.
Пример 21.4.Положение пылинки массой m = 10-9 кг можно установить с неопределенностью Δx = 0.1 мкм. Учитывая, что постоянная Планка h = 6.626·10-34 Дж·с, неопределенность скорости Δυx (в м/с) будет не менее …
Решение: Из соотношения неопределенностей Гейзенберга для координаты и соответствующей компоненты импульса Δx·Δpx ≥ h/2π следует, что Δx·m·Δυx ≥ h/2π. Здесь Δx – неопределенность координаты, ·Δpx – неопределенность x-компоненты импульса, Δυx – неопределенность x-компоненты скорости, m – масса частицы; h – постоянная Планка.
Неопределенность x-компоненты скорости пылинки можно найти из соотношения 
.
Пример 21.5.Высокая монохроматичность лазерного излучения обусловлена относительно большим временем жизни электронов в метастабильном состоянии, равном 10-3 c. Учитывая, что постоянная Планка h = 6.626·10-34 Дж·с, ширина метастабильного уровня будет не менее …
Решение: Соотношение неопределенностей для энергии и времени имеет вид ΔE·Δt ≥ h/2π, где ΔE неопределенность в задании энергии (ширина энергетического уровня), Δt время жизни частицы в данном состоянии. Тогда
