Главная | Обратная связь

ЗАКОН ПАРНОСТІ ДОТИЧНИХ НАПРУГ

В попередніх параграфах, перевіряючи міцність розтягнутого або стиснутого стержнів, ми визначали напругу тільки по перерізу, перпендикулярному до його осі. Але правильно оцінити небезпеку, що загрожує міцності стержня, можна лише знаючи його напружений стан, а це потребує вміння знаходити напруги не тільки в перерізі, перпендикулярному до його осі, але і в будь-якому.

Вище (див. §7) було сказано, що через будь-яку точку тіла можна провести безліч довільно розміщених перерізів (площадок), причому напруги по ним в цій точці в загальному випадку будуть різними.

Щоб визначити напружений стан в даній точці, необхідно встановити закон зміни напруги залежно від напряму площадки .

Під умовним терміном “напружений стан в точці” розуміють сукупність нормальних та дотичних напруг, що діють по безлічі площадок, які проходять через дану точку.

Осьовий розтяг (стиск) є найпростішим видом деформації тіла, при якому напружений стан всіх його точок однаковий і може бути названим однорідним напруженим станом. В загальному ж випадку напружений стан в тілі неоднорідний, так як він змінюється від точки до точки і тому по кожному перерізу тіла напруги розподіляються нерівномірно.

Розглянемо напруги, що виникають при осьовому розтязі або стискові в косих перерізах, тобто не перпендикулярних до його осі. Це дозволить виявити загальну картину напруг, що виникають в перерізах, отримати залежності для визначення напруг, що виникають по будь-якій площадці, і визначити, під яким кутом розміщені ті перерізи, в яких напруги досягають максимальних значень.

Візьмемо прямий брус (рис. 26, а), що розтягується силою F, та визначимо напруги в ньому по похилому (косому) перерізу, що складає з поперечним перерізом кут α.

Зовнішня нормаль (перпендикуляр до цього перерізу) складає з віссю бруса також кут α. Цей кут відкладається в напрямку проти годинникової стрілки від лінії дії сили F до нормалі до площини похилого перерізу (рис. 26, б ).

Розсічемо уявно брус перерізом 2-2, відкинемо верхню його частину і замінимо дію відсіченої частини внутрішніми силами, паралельними осі бруса та розподіленими рівномірно по всьому перерізу. Рівнодіюча цих сил буде дорівнювати силі F.

 

Рис. 26

 

Якщо позначити площу поперечного перерізу 1-1через А, то площа похилого перерізу 2-2

А_a= ,

а повна напруга в перерізі :

 

Величина р залежить від кута α: чим менше кут α, тим більше напруга р.

При α=0 переріз 2-2 співпадає з перерізом 1-1, соsα=1, тоді тобто в цьому випадку повна напруга дорівнює осьовій нормальній напрузі.

При збільшенні кута α до 90º соsα=0, тоді р=0, тобто по площадках, паралельних осі бруса, повна напруга, а значить і нормальна напруга, дорівнює нулю.

Розкладемо повну напругу р на складові в площині 2-2 і перпендикулярно до неї (рис. 26, в). Складова, що нормальна до площадки 2-2 – це нормальна напруга по похилій площадці, а складова, що діє в площадці 2-2, – дотична напруга.

Величина нормальної напруги:

σ_α=р×соsα=σ×cosα×cosα=σ×cos²α ,

а величина дотичної напруги:

t_α=р×sinα=σ×cosα×sinα= ×sin2α,

або остаточно:

σ_α=σ×cos²α, (21)

t_α= ×sin2α (22)

Із отриманих формул (21), (22) маємо, що обидва види напруг по похилому перерізу залежать від величини кута α.

Із збільшенням кута α нормальна напруга σ_α зменшується, а дотична напруга τ_α при заміні кута α від 0 до 90° спочатку зростає від нуля (при α=0) до найбільшого свого значення (при α=45º):

t_max= ×sin2×45º= ×sin90º= ,

а потім із збільшенням кута α від 45º дотична напруга зменшується і при α=90° стає рівною нулю:

t = ×sin2×90º= ×sin180º=0.

Таким чином, найбільші нормальні напруги виникають по площадках, перпендикулярних до осі бруса, а найбільші дотичні напруги – по площадках, розміщених під кутом 45º до осі бруса і дорівнюють половині осьової нормальної напруги, тобто

t_max= . (23)

По площадках, паралельних осі бруса (при α=90º), σ_α=t_α=0, тобто в поздовжніх перерізах бруса не виникають ні нормальні, ні дотичні напруги. Звідси виходить, що між продольними волокнами розтягнутого або стисненого бруса не виникає ні взаємного натискання, ні відриву.

В будь-якому похилому перерізі бруса будуть виникати одночасно обидва види напруг: нормальні та дотичні.

Тепер визначимо напругу по перерізу 3-3, перпендикулярному перерізу 2-2 (рис. 27, а, б ). Нормаль до площадки 3-3 складає з віссю бруса кут α₁=270º+α.

Для визначення нормальної та дотичної напруг по площадці 3-3 застосуємо формули (21) і (22) . Підставивши в них значення кута α₁=270º+α, отримаємо

σ_3-3=σcos²×(270º+α)=σ×sin²α.

 

Рис. 27

Дотичні напруги

 

t_3-3= ×sin2×(270º+α)=- ×sin2α,

або остаточно

σ_3-3=σ×sin² α,

t_3-3=- ×sin2α.

Порівнюючи формули (21), (22) з отриманими, можна зробити наступні висновки:

· величини нормальних напруг по двох будь-яких взаємно перпендикулярних перерізах різні, але їх сума постійна і дорівнює осьовій нормальній напрузі, тобто

σ_2-2+σ_3-3=σ×соs²α+σ×sin²α=σ×(cos²α+sin²α)=σ;

· дотичні напруги по двох будь-яких взаємно перпендику­лярних перерізах рівні за величиною, але протилежні за знаком

t_2-2=-t_3-3 (24)

Тобто, якщо уявити брус розрізаним перерізами 2-2 і 3-3 (рис. 27, в), то дотичні напруги по них або сходяться до вершини прямого кута, або розходяться від неї. Це положення, справедливе не тільки у випадку розтягу або стиску, але і для інших деформацій, при яких виникають дотичні напруги, називається законом парності дотичних напруг. Він читається так: дотичні напруги в двох взаємно перпендикулярних площадках дорівнюють одна одній за величиною і направлені або до ребра перетину цих площадок, або від ребра.