Главная | Обратная связь

ЗАЛЕЖНІСТЬ МІЖ МОМЕНТАМИ ІНЕРЦІЇ ПРИ ПОВОРОТІ ОСЕЙ

 

Якщо осі координат розмістити так, щоб початок координат співпав з центром ваги перерізу, то такі осі будуть називатися центральними осями. Очевидно, що таких осей можна провести безліч. Виникає питання, чи не можна виразити момент інерції відносно будь-якої центральної осі залежно від момента інерції відносно одної або двох визначених осей. Для цього побачимо, як будуть змінюватися моменти інерції відносно двох взаємно перпендикулярних осей при повороті їх на деякий кут α.

Візьмемо довільну плоску фігуру і проведемо дві взаємно перпендикулярні центральні осі О_х і О_у (рис. 50). Нехай нам відомі осьові моменти інерції відносно цих осей І_х, І_у, а також відцентрований момент інерції І_ху.

Рис. 50

 

Повернемо осі координат на кут α, вони займуть положення х₁ та у₁; додатний напрям цього кута будемо вважати проти годинникової стрілки. Запишемо моменти інерції цієї плоскої фігури відносно осей х₁ та у_1.

_; (65)

_;

Із креслення видно, що координати площадки dA в системі координатних осей х₁Оу₁ будуть:

ч₁=ОЕ + ВС = ч·сщыα+ н·ыштα (66)

y₁=BC – AC = y·cosα – x·sinα

Підставляючи ці значення у формули 65, отримаємо:

(67)

Аналогічно: (68)

Перші два інтеграли виразів (67) і (68) являють собою осьові моменти інерції І_х та І_у, а останній – відцентрований момент інерції відносно цих осей І_ху.

Тоді:

(69)

Із формули (69) можна отримати слідуючу залежність:

(70)

тобто сума моментів інерції відносно будь-яких взаємно перпндикулярних осей не змінюється при їх повороті.

 

МОМЕНТИ ІНЕРЦІЇ НАЙПРОСТІШИХ ПЕРЕРЕЗІВ

Осьовий момент інерції прямокутника.

За означенням моменти інерції дорівнюють:

,

Знайдемо спочатку момент інерції I_х. Розіб'ємо прямокутний переріз на елементарні площадки dА – нескінченно вузькі смужки паралельні осі х (рис. 51).

 

Рис. 51

 

Висота такої смужки буде dу, а ширина – b. Момент інерції її відносно осі х буде дорівнювати добутку її площі dА на квадрат відстані у до осі х, тобто

, де

Момент інерції всього перерізу виразиться сумою моментів інерції всіх цих смужок.

Остаточно:

(71)

Очевидно, що момент інерції прямокутника відносно осі у дорівнює:

(71')

Прийнявши b=h=a, отримаємо формулу для визначення моменту інерції квадратного перерізу.

(71")