Здавалка
Главная | Обратная связь

Формула Мора для знаходження переміщень при згині. Правило Верещагіна. Формула Сімпсона.



Нехай потрібно визначити вертикальне переміщення точки А балки (рис. 91, а). Позначимо дійсний стан балки F, а фіктивний стан її - i . Фіктивний стан, це коли ми замість заданого навантаження прикладемо одиничну силу в тій точці де потрібно знайти переміщення, та по його напрямку, тобто одиничну силу прикладаємо в точці А (рис. 91, б).

Робота зовнішніх сил дорівнює добутку одиничної сили на шукане переміщення уА:

Wi F = i×yA

Робота внутрішніх сил

Але так як деформації тіла пружні, то робота зовнішніх сил чисельно дорівнює роботі внутрішніх сил, тобто Wi F = Ui F . Тобто,

(102)

Формула (102) називається формулою (інтегралом) Мораі дозволяє визначити переміщення любої лінійно деформованої системи (або балки) від любого навантаження. Підінтегральний вираз в цій формулі буде додатнім, якщо обидва згинальних моменти входять у формулу з однаковими знаками, тобто коли їх епюри знаходяться по одну сторону від осі балки.

Для визначення переміщення за формулою Мора необхідно виконати слідуючі дії:

1) зипасати вираз згинального моменту MF від заданого навантаження в перерізі А;

2) розглянути фіктивний стан балки, тобто зняти задане навантаження та прикласти до неї одиничну силу в точці, де знаходимо переміщення та по його напрямку;

3) складаємо вираз згинального моменту для фіктивного стану в перерізі А;

4) обчислюємо інтеграл (102) із добутку виразів цих моментів, поділених на жорсткість перерізу балки.

 

Рис. 91

 

У випадку, знаходження кутового переміщення (кута повороту) якогось перерізу замість одиничної сили прикладаємо одиничний згинальний момент.

Що стосується знаку переміщення, треба пам¢ятати, що він залежить від напрямку одиничної сили; якщо результат обчислень буде додатнім, переміщення теж додатнє, тобто воно відбувається за напрямком одиничної сили, та навпаки, якщо результат від¢ємний. Тому немає значення, в яку сторону направлена одинична сила.

Обчислення переміщень за формулою Мора значно спрощується, якщо використати для цього формулу Сімпсона або правило Верещагіна.

Основна перевага цих формул заключається в тому, що за їх допомогою можна обійтись без інтегрування добутків значень моментів в перерізі. Ці трудомісткі операції замінюються найпростішими геометричними обчисленнями, що заключаюься в “перемноженні епюр” згинальних моментів від заданого навантаження та одиничної епюри.

Розглянемо спочатку правило Верещагина. Нехай на ділянці АВ балки постійної жорсткості (рис. 92) епюра прямолінійна і виражена рівнянням

=kz + b;

друга епюра з довільним окресленням MF(z).

 

Рис. 92

 

Підставимо вираз в інтеграл (102), отримаємо :

 

 

Очевидно, що перший інтеграл являє собою статичний момент площі епюри МF (w) відносно осі ординат, що дорівнює w×z0, а другий інтеграл - площу епюри MF в межах від А до В (w), тоді

 

 

Але множник kz0+b =h - ордината прямолінійної епюри , що знаходиться проти центру ваги площі w. Тому остаточно маємо

 

(103)

 

тобто, інтеграл Мора дорівнює добутку площі епюри MF (від заданого навантаження) на ординату прямолінійної епюри Mi, що знаходиться під центром ваги епюри MF, діленому на жорсткість перерізу балки EІx.

Потрібно пам¢ятатти, що обидві епюри на ділянках повинні бути безперервними функціями, а ордината h береться тільки з прямолінійної епюри.

Для випадку складених епюр згинальних моментів MF від заданого навантаження, вона розбивається на ділянки, які перемножаються окремо.

 

Формула Сімпсона для обчислення інтегралу Мора має вигляд

(104)

 

де l - довжина ділянки епюр (рис. 93)

а, с - ординати епюри MF на початку та на кінці ділянки.

b - ордината епюри MF посередині ділянки.

а¢, b¢, c¢ - відповідно теж саме для ділянки епюри .

Знак добутків аа¢, bb¢, cc¢ визначається за тим-же правилом, що і у формулі Мора: якщо обидві епюри знаходяться по одну сторону від осі (рис. 93), то знак добутку додатній.

 

Рис. 93

 

Формула Сімпсона використовується у випадку складних епюр на ділянках балки від заданого навантаження.

 

Приклад 27. Для двотаврової балки, зображеної на рис.94, знайти прогин кінця консолі.

Дв. № 24, Е = 2×105 МПа

 

Рис. 94

 

Розв¢язок. Знаходимо реакції опор за умовою рівноваги:

1. åMA = 0; q×3×1,5 + F1×4 - VД×5 + F2×7 = 0

2. åMД = 0; VA×5 - q×3×3,5 - F1×1 + F2×2 = 0

Із (1) знаходимо:

VД = кН

Із (2) знаходимо:

 

VА = кН

Перевірка: åYi = 0; VA - q×3 - F1 + VД - F2 = 19 -10×3 - 30 + 61 - 20 = 80 - 80 = 0

 

Будуємо епюру поперечних сил Q по характерним точкам (рис. 94, б)

QA = VA = 19 кН, QB = VA - q×3 = 19 - 10×3 = -11 кН,

QСлів = VA - q×3 = -11 кН, Qcnp = -VД + F2 = -61 + 20 = -41 кН,

QДлів = -VД + F2 = -61 + 20 = -41кН, QДпр = QE = F2 = 20 кН.

Будуємо епюру згинальних моментів Мх (рис. 94, в).

МА = 0, МВ = VA×3 - q×3×1,5 = 19×3 - 10×3×1,5 = 57 - 45 = 12 кН×м,

MC = VД×1 - F2×3 = 61×1 - 20×3 = 1 кН×м, МД = -F2×2 = -20×2 = -40 кН×м,

ME = 0.

Знайдемо екстремальне значення згинального моменту на ділянці АВ балки. В точці, де епюра Q перетинає вісь епюри, поперечна сила дорівнює нулю.

Qz = VA - q×z = 0, звідси z = = 1,9 м, тоді

кН×м

Для знаходження прогину в точці Е розглядаємо фіктивний стан балкаи. Для цього знімаємо задане навантаження та прикладаємо в точці Е одиничну силу F = 1 (рис. 94, г). Будуємо від цієї сили епюру згинальних моментів 1 (рис. 94, д).

А = 0, Д = -F×2 = -2 м, Е = 0

Як бачимо, в даному випадку реакції опор від фіктивного навантаження можемо не визначати.

Для визначення переміщення в точці Е використаємо правило Верещагіна та формулу Сімпсона: на ділянках АВ, СД - формулу Сімпсона, на ділянках ВС, ДЕ - правило Верещагіна. Ділянку ВС у вигляді трапеції розіб¢ємо на дві площі - трикутник w1 та прямокутник w2 .

Значення аі, bі, сі, hі знаходимо геометрично із подібності трикутників окремо, а також площі wi. Значення цих величин підставляємо у формули знаходження переміщень.

 

 

 

Отримали знак плюс, це значить, що переміщення точки Е балки відбувається за напрямком одиничної сили F1 тобто зверху вниз.

За таблицями сортаменту приймаємо Ix = 3460 см4.

Чисельник переміщення має одиницю вимірювання кН×м3, перевівши метри в сантиметри, маємо:

кН×м3 = кН×см3 = см,

 

де Е = 2×105 МПа = 2×104 кН/см2.

 

§48. Розрахунок балок на жорсткість.

Балки, в яких поперечний переріз підбирався за умовою міцності, можуть отримувати значні деформації, тобто зігнута вісь має значну кривизну і її прогини виходять недопустимо великими.

В багатьох випадках такі прогини балок можуть порушити нормальну експлуатацію будівлі або споруди. Наприклад, внаслідок недопустимо великого прогину балок міжетажного перекриття останні стають хиткими. В результаті цього може розтріскуватися і навіть облетіти штукатурка стелі.

В промислових будівлях значні прогини елементів конструкцій можуть викликати аварію. Наприклад, через великі прогини підкранових балок може відбутися недопустиме уширення кранових шляхів і, як наслідок цього, схід з рельсів мостового крану.

Звідси зрозуміло, яке значення придається дотриманню допустимих значень прогинів для деяких елементів конструкцій, що згинаються.

Тому балки перекриття та інші конструкції цивільних та промислових будівель підбирають за умовою жорсткості, для чого звичайно задається найбільший допустимий прогин. Технічними умовами та нормами проектування для різних класів будівель та споруд встановлені значення допустимих прогинів від і до прольоту балки, а в деяких випадках і менші.

Таким чином, умова жорсткості може бути виражена формулою , тобто найбільший прогин балки не повинен перевищувати допустимого.

На практиці для спрощення та прискорення розрахунків часто приходиться користуватись готовими формулами із довідників для визначення прогинів та кутів повороту як при підборі поперечних перерізів, так і при перевірці жорсткості перерізів працюючих балок. Готові формули застосовують також при розв¢язуванні статично невизначених задач при згині.

Готові формули для деяких видів навантаження наведені в додатках. В тих випадках, коли на балку діє декілька видів навантажень, необхідно використати принцип незалежності дії сил, у відповідності з яким визначають переміщення від кожного виду навантажень, а потім додають .

При цьому припускається, що визначений розрахунком найбільший прогин виникає в перерізі, досить близьким до середини балки, про що говориться вище (див. приклад 26).

При розрахунку на жорсткість у формулу прогину для заданої схеми балки та навантаження підставляють значення величини допустимого прогину і визначають величину потрібного моменту інерції, за яким і приймають необхідний переріз балки. Для підбору стальних двотаврових та швелерних балок користуються сортаментом.

Нижче наведені приклади підбору перерізів балок за умовою жорсткості.

 

Приклад 28. Підібрати переріз стальної двотаврової балки за умовою міцності та жорсткості (рис. 95). Допустима напруга [s] = 160 МПа; допустимий прогин ; Е = 2×105 МПа; q = 8 кН/м; F = 25 кН.

 

Рис. 95

 

Розв¢язок. Для підбору перерізу за умовою міцності найбільший згинальний момент посередині прольоту знайдемо як суму згинальних моментів від кожного навантаження окремо:

кН×м

За формулою (91) знайдемо потрібний момент опору

см3

За сортаментом приймаємо Дв. № 24 з Wx = 289 см3

Умова жорсткості має вигляд

, або

см

Звідси знайдемо величину необхідного моменту інерції перерізу

см4.

По сортаменту приймаємо Дв. № 27 з Ix = 5010 см4.

При підрахунках потрібно слідкувати за одиницями вимірювання. В даному випадку довжини прийняті в сантиметрах.

Із наведеного прикладу видно, наскільки різні перерізи балок, що визначаються із умов міцності та жорсткості.

Приклад 29. Перевірити жорсткість дерев¢яної балки, що зображена на рис. 96; Е = 104 МПа; ; F = 10 кН; q = 8 кН/м; b = 18 см; h = 24 см.

 

Рис. 96

 

Розв¢язок. Момент інерції поперечного перерізу балки

см4

Допустимий прогин см

Величина повного прогину складається із прогинів від розподіленого навантаження та зосередженої сили.

де а = 1 м = 100 см, b = 2 м = 200 см, тоді

Остаточно f =1,42 см < [ f ] = 2,25 см.

Умова жорсткості виконується.

Перші роботи по дослідженню згину балок провів Галілей, та опублікував їх в 1638 році. Ці дослідження були направлені головним чином на розв¢язок задачі про напруги при поперечному згині балок - одній із найважчих задач за весь період розвитку опору матеріалів. Але правильного розв¢язку Галилей не дав і не міг дати, так як він виходив із законів механіки абсолютно твердого тіла, не приймаючи до уваги пружних властивостей матеріалу. Але його роботи зробили значний вплив на розвиток науки про міцність матеріалів.

Відкритий Гуком в1678 році закон прямої пропорційності між навантаженням та деформацією дозволив правильно підійти до розв’язку задачі про напруги при згині балок, яку згодом розвинули французькі вчені. Так, перший правильний розв¢язок цієї задачі дав в 1713 р. Паран. Теорія згину в її сучасному вигляді була викладена Навьє в 1826 р. в курсі опору матеріалів. Заслуга введення в науку поняття про моменти інерції перерізу та розробка їх теорії належить Персі.

В період двадцятих та тридцятих років ХІХ сторіччя з¢явились нові (на той час) матеріали - чавун та зварне залізо, що знайшли досить широке застосування головним чином у зв¢язку з інтенсивним ростом залізничного будівництва. Це зробило значний вплив на розвиток науки про опір матеріалів. Завдяки введеному французьким вченим Коші поняттю про напруги з¢явилась можливість їх визначення та порівняння з допустимими напругами. Ця обставина створила небувалу до цього впевненість у інженерів про надійність виконуваних ними розрахунків, і з цього часу опір матеріалів став прикладною наукою, здатною вирішувати практичні задачі техніки.

Дотичні напруги відкрив французький вчений Кулон (1736 - 1806), але визначити величину їх йому не вдалося. Але всі праці французької школи по розв¢язуванні задачі про напруги відносились тільки до чистого згину і не враховували зсувів. Вперше розв¢язок задачі про поперечний згин дав російський вчений Д. І. Журавський. Він в 1848 р. вперше вивів формулу для знаходження дотичних напруг при згині, якою користуються і в даний час.

Диференційне рівняння зігнутої осі балки вперше вивів Л. Єйлер. Він застосував його до дослідження деяких випадків поперечного згину, а також при створенні теорії поздовжнього згину стиснутих стержнів. Подальші дослідження зігнутої осі балки провів Навьє. Але його метод був досить громіздкий, що викликало прагнення до створення більш простих методів розв¢язку цієї задачі.

Значне спрощення в розв¢язку цієї задачі внесли прийоми інтегрування диференційних рівнянь зігнутої осі балки, розроблені німецьким вченим Клебшем (1833 - 1872) та пізніше - російським вченим І. Г. Бубновим (1879 - 1919). Успішний розв¢язок задачі був зроблений лише в 1923 р. російським вченим М. П. Пузиревським (1861 - 1934) стосовно балок, що лежать на пружній основі, причому метод був названий “методом початкових параметрів”. Академік Крилов (1863 - 1945) дав суворе обгрунтування вказаного методу.В галузі застосування методу початкових параметрів до простих балок слід відмітити праці професорів М. Г. Куліковського, Г. С, Глушкова, С. М. Соколова, І. С. Подольского, М. К. Снітко, О. О. Уманського та ін.

Багатьма вченими вказаний метод, поширений на розв¢язок інших, більш складніших задач, пов¢язаних з питаннями згину стержнів. Серед них можна вказати, наприклад, на праці проф. М. І. Безухова, що поширив метод початкових параметрів на динамічні задачі згину, проф. М. К. Снітко - на задачі стійкості та ін.

В даний час метод початкових параметрів є загальнопризнаним та широко застосовується при розв¢язуванні різних задач, пов¢язаних із згином елементів конструкцій.

 

Питання для самоконтролю.

1. Що називається згином ?

2. Який згин називається прямим ?

3. Чому дорівнюють поперечна сила та згинальний момент в довільному перерізі бруса ?

4. Який закон розподілу нормальних напруг по поперечному перерізу бруса ?

5. В яких точках перерізу виникають найбільші нормальні напруги ?

6. В яких точках перерізу виникають найбільші дотичні напруги ?

7. Що називається пружною лінією балки ?

8. Який зв¢язок між кривизною бруса, згинальним моментом та жорсткістю балки ?

 








©2015 arhivinfo.ru Все права принадлежат авторам размещенных материалов.