 |
|
Розрахунок центрально стиснених стержнів на міцність за допомогою коефіцієнта поздовжнього згину.
В §59 ми встановили, що стиснені стержні повинні бути перевірені за двома умовами:
а) за умовою міцності
, де 
( 
або 
);
б) за умовою стійкості
= 
Ми встановили, що допустима напруга на стійкість не є постійною величиною для одного і того ж матеріалу, а залежить від гнучкості стержня 
.
З’ясуємо, як пов’язані допустимі напруги на стійкість з допустимими напругами на міцність. Для цього візьмемо їх відношення:
звідси
Позначивши вираз, що стоїть в правій частині рівності перед 
через 
отримаємо
Коефіцієнт називається коефіцієнтом зменшення основної допустимої напруги при поздовжньому згині (коефіцієнтом поздовжнього згину). Його величина завжди менша одиниці. По графіку залежності 
від 
для даного матеріалу, а також по 
, 
і коефіцієнтам запасу міцності k, та стійкості 
складені таблиці значень коефіцієнтів 
в функції від гнучкості. Значення їх для деяких матеріалів наведені в додатках.
Тепер розрахункову формулу на стійкість можна представити у вигляді:
(146)
де - основна допустима напруга при осьовому стискові.
За основною формулою (146) можна робити три види розрахунків на стійкість:
1. Перевірка стиснутих стержнів на стійкість.
2. Визначення площі поперечного перерізу стиснутого стержня (проектний розрахунок).
3. Визначення допустимого навантаження на стояк (стержень.)
Приклад 39. Знайти величину критичної сили для стояка висотою 3,5м з перерізом 10 
16см. Стояк закріплений з обох кінців шарнірно. Матеріал – сосна, модуль пружності Е=1 
, гранична гнучкість гран =75.
Розв’язок. Критичну силу знаходимо за формулою
Fк= 
Площа перерізу стояка A=10 
=160см2, менший момент інерції перерізу буде відносно осі y.
тоді менший радіус інерції
Визначаємо гнучкість стояка:
тобто критична сила визначається за формулою Ейлера.
Fк= 
де Е= 
Приклад 40. Перевірити стійкість дерев’яного стояка висотою 4м і перерізом 
Кінці стояка закріплено шарнірно, =10Мпа, осьове стискуюче навантаження F=130кН.
Розв’язок. Умова стійкості має вигляд
Знайдемо площу перерізу 
. Менший момент інерції перерізу
тоді менший радіус інерції перерізу
Знайдемо гнучкість стояка
За додатками для =86,6 по інтерполяції знаходимо 
Перевіряємо стійкість:
Умова стійкості виконується.
Виконання проектного розрахунку, тобто визначення площі поперечного перерізу за формулою (146), із якої отримаємо
. (147)
В цій формулі дві невідомі величини А і хоча і пов’язані між собою, але залежність між ними непроста. Тому виключити із рівняння одну з них шляхом заміни її іншою неможливо. В даному випадку приходиться підбирати переріз методом послідовного наближення, який заключається в слідуючому.
Для першого наближення задаємося коефіцієнтом 
, який приймають менше одиниці ( =0,5).
За прийнятим значенням визначаємо площу перерізу А, та його форму. Після підбору перерізу знаходимо для нього Imin, imin i , а потім за знайденою гнучкістю відповідну їй величину коефіцієнта .
Отримане значення може сильно відрізнятися від прийнятого для першого наближення, тому і напруга буде значно відрізнятися від допустимої. В цьому випадку потрібно взяти нове значення 2, наприклад середнє між і тобто 
, і, так само як раніше, виконати необхідні обчислення, в результаті чого отримаємо нове значення коефіцієнта .
Звичайно буває достатньо двох або трьох спроб, щоб підібрати переріз стержня.
Приклад 41. Підібрати переріз рівностійкої центрально стисненої колони, що складається із двох швелерів, з’єднаних планками за допомогою зварювання. Для колони, умова закріплення її кінців та стискуюча сила вказані на рис.117,а, поперечний переріз – на рис.117,б. Допустима напруга для сталі =160Мпа.
Рис.117
Розв’язок. Розрахунок відносно матеріальної осі x.
Із умови стійкості.
задавшись для першого наближення коефіцієнтом поздовжнього згину 
=0,75, знаходимо потрібну площу перерізу колони
де F = 0,51 МН = 510 кН, 
= 160 Мпа = 16 
.
По сортаменту підбираємо два швелери №18 з площею А=2 
і радіусом інерції іх=7,24см. Відповідна гнучкість колони
Коефіцієнт по інтерполяції (див. додаток )
Перевіряємо напругу. 
Отримали недонапруження
Приймаємо два швелери №16а з 
і радіусом інерції 
Відповідна гнучкість колони
Тоді коефіцієнт 
по інтерполяції
а напруга
Недонапруга складає 
що допустимо.
Розрахунок на стійкість колони відносно вільної осі y зводиться до визначення відстані b між швелерами (див. рис.117,б). При цьому в розрахунок вводиться не гнучкість 
а, так звана приведена гнучкість пр., яка в наслідок деформації з’єднувальних планок більша y, і для випадку, що розглядається визначається за формулою 
де 
- гнучкість ділянки швелера, заключеного між планками, відносно власної осі y0; вона приймається в межах 30...40.
Відстань b між швелерами колони визначаємо із умови рівностійкості в двох площинах: пр.= х.
Тоді необхідна гнучкість колони відносно вільної осі y буде:
Необхідний радіус інерції перерізу
Необхідний момент інерції перерізу
З іншої сторони,
.
Порівнявши праві частини обох рівнянь маємо:
звідки
Із рис.117,б видно, що b = 2(а-z0) = 2(7-2) = 10см.
В даному прикладі ми старалися підібрати відстань між швелерами (b) таку, щоб моменти інерції перерізу колони відносно осей х та y були однакові. При конструюванні стиснутих елементів велике значення має форма поперечного перерізу. Вона виявляється найбільш доцільною і економічною в тому випадку, якщо гнучкість відносно обох головних осей інерції перерізу буде однаковою.
Стержні у вигляді окремих двотаврів і швелерів є дуже неекономічними, так як розрахунок їх приходиться вести за меншим моментом інерції перерізу, в той час як другий, більший момент інерції, а відповідно, більша жорсткість перерізу залишається невикористаною. Тому при проектуванні колон та стержнів ферм із прокатних профілів застосовують складені перерізи таким чином, щоб гнучкості їх відносно обох головних осей були по можливості однакові. При цьому велике значення має влаштування надійного з’єднання елементів складеного перерізу (планками, зєднальні решітки тощо.), які забезпечують їх спільну роботу.
Питання для самоконтролю.
1. В чому суть поздовжнього згину?
2. Яка сила називається критичною?
3. Що називається запасом стійкості?
4. Що називається коефіцієнтом довжини і чому він дорівнює для випадків кріплення бруса?
5. Який момент інерції підставляється у формулу Ейлера? Чому?
6. Що називається гнучкістю стержня?
7. Які форми перерізу будуть раціональні при поздовжньому згині?
8. Що таке коефіцієнт ? Від чого він залежить?
9. В чому суть розрахунку стиснених стержнів на поздовжній згин?
Розділ X Основи розрахунку на дію динамічних навантажень. Поняття про дію повторно-змінних навантажень.
§61 Поняття про дію динамічних навантажень.
До цього часу ми розв’язували основне завдання опору матеріалів виходячи з того, що навантаження, яке діє на елементи конструкцій або деталей машин, є статичним.
Ми знаємо, що статичне навантаження характеризується тим що не змінює механічного стану конструкції або деталі. Тобто, в них не виникають прискорення. Наявність прискорення в конструкціях або їх елементах характеризує дію динамічного навантаження.
Розглянемо дію конструкції на канат. Ця дія буде статичною, якщо вантаж знаходиться в стані спокою або піднімається рівномірно, тобто без прискорення. Але цей вантаж спричинить динамічне навантаження на канат, якщо він рухається нерівномірно. Наприклад в момент початку руху конструкції або його зупинки.
При змінних напругах ми зустрічаємося з явищем руйнування від поступово зростаючої тріщини – з явищем втоми.
При різкій зміні швидкості руху елемента конструкції в залежності від передачі на нього тиску від сусідніх елементів, коли має місце явище удару, може виявитися крихкість в таких матеріалах, які при статичному навантажений були пластичними. Тому при перевірці міцності деталей конструкцій, що зазнають дію динамічних навантажень, доводиться цікавитися впливом цих навантажень не тільки на величину напруги в деталях, але і на здатність матеріалу чинити опір таким навантаженням.
В цьому розділі ми зупинилися на двох випадках динамічного навантаження, що виникає в залежності від швидкості їх руху.
Метод розрахунку на динамічне навантаження оснований на відомому із теоретичної механіки принципі Даламбера.
Нагадаємо, що згідно цього принципу тіло, яке рухається, розглядається як таке, що знаходиться в рівновазі, якщо до зовнішніх сил додати силу інерції, яка дорівнює добутку маси тіла на його прискорення і направлена в протилежну сторону від прискорення.
Тому, якщо відомі сили інерції, можна застосувати метод перерізів і, використовуючи рівняння рівноваги, визначити внутрішні зусилля в перерізах тіла. Якщо визначити сили інерції важко, використовують закон збереження енергії.
У всіх випадках, де прикладене динамічне навантаження, виникають додаткові сили, - сили інерції, що можуть бути дуже великими: так, наприклад – при підніманні вантажу з прискоренням сила інерції може значно перевищувати вагу самого вантажу. Сили інерції викликають додаткові напруги, які при розрахунках повинні бути враховані. Для спрощення розрахунків ці додаткові напруги умовно вважають статичними, але викликані силами інерції.
§62. Розрахунки на міцність при динамічних навантаженнях.
Покажемо, як визначаються напруги, коли точки елемента конструкції отримують постійне прискорення. Нехай вантаж Q піднімається рівноприскорено на стальному канаті поперечним перерізом А (рис.118,а). Визначаємо напругу в перерізі стального канату, для чого застосовуємо метод перерізів і розглянемо рівновагу нижньої відсіченої частини (вагою канату нехтуємо).
Як бачимо із рис.118,б, ця частина рухається з прискоренням а, тому на неї крім ваги вантажу діє ще сила інерції, що направлена в сторону, протилежну прискоренню, яка дорівнює добутку маси вантажу на прискорення
де g – прискорення сили тяжіння – 9,81 
За умовою рівноваги в перерізі виникає поздовжня сила 
Тоді напруга в цьому перерізі (назвемо її динамічною)
Як видно із отриманого виразу, величина 
є статичною напругою 
, тому запишемо
(148)
тобто величина динамічної напруги дорівнює
Рис.118
статичній напрузі, помноженій на величину 
яку назвемо динамічним коефіцієнтом kД. тобто формулу (148) можна записати так:
(149)
Умова міцності при динамічному навантаженні
звідки
(150)
Як видно із формули (148) при а=0, тобто коли прискорення відсутнє, динамічні напруги дорівнюють статичним. Іншими словами, у випадку рівномірного прямолінійного руху напруги в перерізах канату будуть такими ж, як і у випадку нерухомого стану вантажу.
Із викладеного стає очевидним, що динамічний розрахунок можна замінити статичним. Для цього досить зменшити допустиму напругу, розділивши її на динамічний коефіцієнт.
Розглянемо дію іншого виду динамічного навантаження – ударного. Якщо швидкість елемента конструкції або прилеглих до нього частин змінюється за досить короткий проміжок часу, то відбувається явище удару.
Наприклад, при забиванні палі молот, впавши з деякої висоти на палю, зупиняється майже миттєво, тобто зміна швидкості падіння молоту від деякої величини до нуля відбувається за досить короткий час, тобто відбувається удар.
Удар може бути поздовжнім (стискуючим або розтягуючим), коли вантаж падає на стержень вздовж його осі, та поперечним (згинаючим), якщо падіння вантажу на стержень відбувається перпендикулярно його осі.
Розглянемо явище удару при слідуючих припущеннях.
1) при ударі в елементі конструкції виникає
тільки пружна деформація;
2) удар вважається непружним, тобто тіло, що ударяє
не відскакує після удару, а продовжує переміщуватися разом
з ударяємим тілом як одне ціле;
3) маса тіла що ударяє вважається досить малою в
порівнянні з масою вдаряємого тіла і в рахунок не береться. Це
припущення, як побачимо далі, підвищує величину динамічної
напруги, тобто збільшує запас міцності при ударі.
Нехай вантаж вагою Q вільно падає з висоти h на довільну конструкцію, причому швидкість падіння його при ударі
звідки 
.
Конструкція під дією удару деформується, і точка удару переміститься в напрямі падіння вантажу на величину fД. Величина повної роботи падаючого вантажу
.
Отримана робота переходить в потенційну енергію деформації ударяємої конструкції. Якщо позначити буквою 
переміщення від одиничної сили, то відношення 
виразить собою еквівалентну силу, яка при своїй статичній дії викличе таке ж переміщення 
яке викликане ударом.
Знайдемо величину потенційної енергії:
Прирівняємо вирази кінетичної та потенційної енергії:
Розв’язавши це квадратне рівняння відносно 
отримаємо
.
Знак плюс перед коренем означає, що ми визначали найбільше значення переміщення.
Переміщення 
є переміщенням від статичної дії навантаження Q, тобто можна написати
. (151)
Вираз у дужках показує, в скільки разів результат ударної дії вантажу більше статичної дії, і називається динамічним коефіцієнтом.
(152)
звідки видно, що величина kд зростає із збільшенням висоти h падіння вантажу.
Формула (151) може бути представлена у вигляді:
(153)
Так як ми прийняли припущення про справедливість закону Гука в межах пружності, то можна записати
(154)
або
(155)
Якщо прийняти h=0, тобто навантаження прикласти одразу (раптова дія навантаження), величина динамічного коефіцієнту
.
Таким чином, раптово прикладне навантаження викликає вдвічі більші напруги і деформації, ніж при статичному навантаженні.
Приклад 42. Визначити динамічну напругу в стальному канаті в момент підйому вантажу Q=60кН, якщо прискорення в цей момент а=5 
Довжина канату 20м, площа його перерізу А=8см2 і об’ємна вага 
Розв’язок. Визначимо вагу стального канату
де 
Визначимо поздовжню силу в канаті
Визначимо величину динамічного навантаження за формулою (148)
де 
Приклад 43. При забиванні дерев’яної палі діаметром 
, довжиною 
молот вагою 
падає з висоти 
(рис. 119).
Визначити статичну та динамічну напруги в перерізі палі. Модуль пружності для палі 
Умовно вважаємо, що при ударі нижній кінець палі не переміщується (в кінці забивання). Власного вагою палі нехтуємо.
Рис.119
Розв’язок. Знаходимо площу перерізу палі
Знайдемо величину статичного поздовжнього укорочення палі:
де 
Величина статичної напруги дорівнює
Знайдемо величину динамічної напруги за формулою (155)
Приклад 44. Визначити динамічну напругу в небезпечному перерізі двотаврової балки №30, якщо посередині падає вантажна , з висоти 50см. Проліт балки 
, 
, 
(рис. 120)
Рис 120
Розв’язок. Знаходимо величину найбільшого згинального моменту від статичної дії навантаження.
Знаходимо величину статичної напруги
де 
Знаходимо величину статичного прогину за готовою формулою (див. додаток)
За формулою (152) знаходимо значення динамічного коефіцієнту
Тоді динамічна напруга – за формулою (154):
Динамічна напруга більша не тільки допустимої напруги, але і границі текучості.
Із наведених прикладів видно, що динамічна дія навантаження викликає досить великі напруги в перерізах елементів конструкцій в порівнянні з таким ж за величиною статичними навантаженнями. Особливо це стосується ударних навантажень.
Звідси можна зробити висновок, наскільки важливо при монтажі будівельних конструкцій (фундаментів, панелей, плит перекриття, тощо.) бути обережним при опусканні плити перекриття або іншої деталі на вже зібрану частину будівлі, щоб при цьому не відбулося удару.
§63 Поняття про дію повторно-змінних навантажень.
Опір матеріалів дії навантажень, що систематично змінюють свою величину або величину і знак, суттєво відрізняється від опору тих самих матеріалів статичному та ударному навантаженню. Тому питання про перевірку міцності матеріалів, що знаходиться під дією змінних навантажень потребує особливого вивчення.
Давно відомо, що деталі машини, що знаходиться під дією змінних навантажень, які повторюються велику кількість разів, іноді руйнуються раптово, без наявності помітних залишкових деформацій, при напругах, яким вони чинили опір при статичному навантаженні досить надійно.
Прикладом такого навантаження є “ломання” дроту, тобто багаторазове згинання відрізка дроту. Очевидно, що в цьому разі частини дроту перемінно опиняються то в розтягнутій то в стиснутій зонах. Після деякої кількості циклів напруг відбувається руйнування дроту.
Злам деталі після руйнування має характерний вигляд і на ньому, як правило, є дві зони: одна – гладенька, притерта (поверхня тріщини, що поступово розвивається), друга - грубозерниста (поверхня остаточного зламу в ослабленому тріщиною перерізі). Внаслідок такого крихкого руйнування складається враження, що циклічні напруги призводить до зміни кристалічної будови матеріалу. Тому раніше вважали, що матеріал “втомлюються” і змінює свою будову, перетворюючись з пластичного на крихкий. Звідси і виник напрямок, пов’язаний з визначенням здатності матеріалу чинити опір дії циклічних напруг, розрахунки на втомлену міцність (опір втомленості).
Зараз доведено, що при циклічних навантаженнях будова матеріалу не змінюється. Руйнування відбувається внаслідок виникнення та розвитку тріщин, які ослаблюються переріз.
Зазначимо, що в теорії втомленості є великі математичні труднощі і вона досі достатньо не відпрацьована. В загальному випадку тут не можна використовувати звичну розрахункову схему, як для суцільного середовища, оскільки треба враховувати зв’язки всередині кристалів та між ними. Тому розрахунки на опір втомленості здійснюють на підставі експериментальних даних.
Зміна напруги від однієї крайньої величини до другої, і навпаки, ми в подальшому будемо називати циклом напруг.
Закон зміни напруг за один цикл зобразимо графічно (рис. 121). Найбільшу та найменшу напругу позначимо відповідно σтах та σтin Відношення їх
, ( -1 ≤ r ≤ 1 ) (156)
називають коефіцієнтом асиметрії циклу.
Залежно від r цикли бувають: подібними (якщо мають однакові коефіцієнти асиметрії), симетричними (коли σтах = - σтin ; r=-1) (рис.121,а)
несиметричними (σтах ≠ |σтin | ; |r| ≠ 1) та віднульовими (пульсуючими) (σтin=0 ; r=0) (рис 121,б).
При цьому несиметричний цикл може бути як знакопостійний (рис. 122,а), так і знакозмінним (рис 121, а).
Рис 121.
Рис 122
Цикли характеризуються також середньою напругою σсер та амплітудою σа:
|
З формул (157) випливають такі залежності:
σтах = σа +σсер; σтіп = σсер - σа
Процес розвитку тріщин при циклічних напругах пов’язаний з накопиченням пластичних деформацій. Тоді, ймовірно, що опір втомленості не залежить від закону та частоти зміни напруги у межах інтервалу σтах...σміп.Отже, цикли, зображені на рис 122, б, рівноцінні.
Нагадаємо, що опором втомленості матеріалу називають його здатність чинити опір руйнуванню при дії циклічних напруг. Найбільша напруга, яку матеріал може витримати, не руйнуючись, практично нескінченну кількість циклів напруг, називається границею витривалості. Границя витривалості позначається σr або τr, де індекс r відповідає коефіцієнту асиметрії циклу (σ-1, τ-1 при симетричному циклі; σ0, τ0 при відпульовому).
Границя витривалості залежить від виду деформації, фізико-механічних властивостей матеріалу, коефіцієнта асиметрії циклу та інших факторів. ЇЇ визначають експериментально, найчастіше в умовах симетричного циклу. Схема установки для визначення границі витривалості в умовах чистого згину зразка що обертається показано на рис. 123. Тут зразок затискається в цангах 2,4, що обертаються за допомогою двигуна 7. Частота обертання зразка до руйнування фіксується лічильником 6.
Зусилля на зразок передаються через підвіси 1,5. При проведенні дослідів випробовують партію однакових зразків в кількості не менше ніж 10шт. (при підвищеній точності дослідів кількість зразків збільшується до 40-60шт).
На першому етапі задається напруга, що перевищує границю витривалості матеріалу зразка, тобто σ1 =(0,5...0,7)σВ, де σВ – границя міцності матеріалу зразка. В цьому разі зразок зруйнується за досить невелику кількість циклів навантаження N1. Навантаження на наступні зразки поступово зменшують.
Рис 123.
Очевидно, що кожний з менш навантажених зразків (σІІ, σІІІ, σIV…) буде витримувати дедалі більшу кількість циклів до руйнування (NІІ, NІІІ, NIV…).
Обробивши добуті дані, можна побудувати криву втомленості в координатах σ, N (рис. 124). Неважко помітити, що крива втомленості послідовно наближається до деякої горизонтальної прямої, що відсікає на осі ординат відрізок, який відповідає границі витривалості для симетричного циклу σ-1.
Рис 124
Як правило, досліди на втомленість проводить при певній базі випробувань ( кількість циклів ), перевищення якої не призводить до руйнування зразка при даній напрузі. Так для стальних зразків вона становить 107 циклів, для кольорових металів – 108.
Питання для самоконтролю.
1. Наведіть приклади статичної та динамічної дії навантажень.
2. Що таке динамічний коефіцієнт?
3. Чому дорівнює динамічний коефіцієнт при раптовому прикладанні навантаження?
4. Що називається ударним навантаженням?
5. Що називається циклом напруг?
6. Що називається границею витривалості?
Розділ ХІОснови розрахунку за граничним станом