Тема 1. РОЗРАХУНОК СИСТЕМ, ЩО ПРАЦЮЮТЬ НА
РОЗТЯГ-СТИСК
ЛІТЕРАТУРА: 1, р. II; 2, р. II; 3, р. І, § 1—11. Перш ніж приступити до вивчення теми розтяг-стиск, необхідно познайомитися з поняттями напруження і деформація. Повним напруженням в даній точці на даній площадці є границя відношення зусилля, що діє на площадці, до величини площі цієї площадки при прямуванні останньої до нуля (1.1)
Це векторна величина. Проекція її на нормаль до площини називається нормальним напруженням, а на площину — дотичним напруженням. Деформацією називається відносне видовження елемента (1.2) де Δl — абсолютне видовження елемента довжини l . Надалі необхідно мати на увазі наступні положення. Розтяг-стиск — вид напружено-деформованого стану, при якому в поперечних перерізах бруса (стержня) виникає тільки один силовий фактор — подовжня сила, що визначається методом перерізів. Припущення про те, що нормальні напруження в перерізі розподілені рівномірно, дає можливість визначати їх за формулою (1.3) Використання (1.2) і закону Гука (Е — модуль пружності) (1.4) приводить до формули для визначення переміщень (1.5) Величина ЕF- жорсткість стержня при розтязі-стиску. Формула (1.5) застосовується, якщо N і ЕF постійні по довжині l. Якщо N змінна, наприклад при врахуванні власної ваги, то формула прийме вигляд (1.6) При деформуванні в стержні накопичується потенціальна енергія. Величина цієї енергії при постійному зусиллі N визначається для стержня довжиною l за формулою (1.7) При нагріванні стержня на Δt °С деформації і видовження підраховуються заформулами: (1.8) де α — коефіцієнт температурного розширення матеріалу. При опрацюванні цього розділу варто ознайомитися з поняттям "коефіцієнт Пуассона" , (1.9)
що характеризує деформацію в поперечному напрямку. Нагадаємо, що цей коефіцієнт змінюється в межах від 0 (крихкі матеріали) до 0,5 (матеріали, що деформуються без зміни об'єму). При розрахунку статично невизначених систем необхідно: 1. Визначити ступінь статичної невизначеності n. 2. Вибрати основну систему і ввести невідомі. 3. Скласти рівняння статики. 4. Скласти рівняння сумісності деформацій за числом, яке відповідає ступеню статичної невизначеності. 5. Розв'язати отриману систему. Вихідною при розрахунку на міцність є нерівність (1.10) Тут [σ ] - допустиме напруження, рівне [σ] = σ гр /[n], де σгр - граничне напруження, [п] - нормативний коефіцієнт запасу міцності. Вихідним при розрахунку на жорсткість є нерівність Δl ≤ [Δl] , (1.11)
де [Δl] — допустиме видовження. При розрахунках на міцність і жорсткість виділяється три типи задач: 1. Перевірка міцності і жорсткості. 2. Підбір параметрів перерізу. 3. Визначення допустимих навантажень.
Питання, для самоперевірки 1. Що називається напруженням ? Які бувають напруження ? 2. Що таке деформація? 3.Який вид напружено-деформованого стану називається розтяг-стиск? 4. Як підраховується видовження стержня при силовому і температурному впливі? 5. Як визначаються нормальні напруження при розтязі-стиску? 6. Як підраховується потенціальна енергія деформації стержня при розтязі-стиску? 7. Опишіть порядок розрахунку статично невизначених систем при розтязі-стиску. 8. Як проводиться розрахунок на міцність і жорсткість? 9. Перелічіть види розрахунку на міцність і жорсткість. ПРИКЛАД 1.Нехай стальний стержень має ступінчастий поперечний переріз і навантажений силами Р1 =40 кН і Р2=120 кН. Необхідно побудувати епюри подовжніх сил і нормальних напружень, знайти переміщення перерізу D-D і виписати вираз для потенціальної енергії деформації. Розміри стержня наведені на рис. 1а. Прийняти F1=250 мм2, E =2.105 МПа, F2=400 мм2, l1=1м, l2=400 мм, l3=500 мм. Розв'язання.Для визначення повздовжніх сил застосуємо метод перерізів. Попередньо виділяємо характерні ділянки, границями яких є місця прикладання зосереджених сил і ступінчастої зміни площі перерізів (на рис. 1 ці ділянки позначені І, II, III). На кожній ділянці проведемо переріз і розглянемо рівновагу відсічених частин (див, рис. 1 б, в, г). З умови ΣХ=0знаходимо N1=40 кН,N2=40 кН, N3=-80 кН (рис. 1 д). Напруження знаходять за формулою (1.3). Епюра σ представлена на рис. 1е. Переміщення перерізувідбувається за рахунок деформації ділянок АВ, ВСі СD. Видовження кожної ділянки підраховують за формулою (1.5). В результаті маємо
Потенціальну енергію деформації підраховуємо на ділянках за формулою (1.7).
ПРИКЛАД 2. Для стержня ступінчастого поперечного перерізу, жорстко закріпленого на кінцях і навантаженого силою Р= 6кН (рис. 2а), перевірити міцність. Перевірити міцність також при охолодженні стержня на 10° С, якщо сила відсутня. Прийняти F =1000 мм2 , l1=4м, l2 =2 м, l3 =2 м, Е= 2*105 МПа, α = 12*10 -6 '/град, R = 160 МПа.
Розв'язання.Дана система є статично невизначеною (дві реакції А й В і одне рівняння статики). Виберемо основну систему, відкинувши неподатливу опору В, замінивши її вплив силою X (рис. 2,б). Для забезпечення еквівалентності основної і вихідної систем необхідно вимагати, щоб переміщення Δlв=0 (у вихідній системі тут неподатлива опора). Звідси
Це рівняння служить для визначення X. Для числових даних X = ⅔ Р = 4кН. Тепер неважко побудувати епюру N (мал. 2д) і епюру σ (мал. 2е). Найбільше напруження σmах виявилося менше розрахункового опору R. Отже, міцність забезпечена.
Рис. 1 Рис. 2
При розгляді температурної задачі виберемо ту ж основну систему. Переміщення ΔlВ повинне складатися з температурного подовження і подовження за рахунок деформації від сили X.
Звідки Х=32 кН. Епюри N і σ зображені на рис. 2 ж і на рис. 2 з. Найбільше напруження
менше [σ]= 160 МПа . Міцність забезпечена.
ПРИКЛАД 3.Необхідно визначити зусилля і напруження в пружних стержнях системи, зображеної на рис. За, під дією заданих сил. Брус АВ вважати абсолютно жорстким. При розрахунках прийняти Р=20кН, F =1000 мм2, l1 = l2 = а = 2м, α = 30°. Якими були б зусилля, якби навантаження було відсутнє,а при збиранні стержень 1 був коротший потрібної величини на δ = 1 мм?
Е = 2 * 105 МПа
Рис. 3 Розв'язання.Розглянута система статично невизначена. Ступінь статичної невизначеності n=1. Число невідомих зусиль в двох стержнях (див. мал. 3 б) на одиницю перевищує число рівнянь статики. Це рівняння буде або
Ще одне рівняння складається за умовою сумісності деформацій стержнів 1 і 2. Повернемо брус АВ на нескінченно малий кут (мал. Зв). Вертикальні переміщення т.В збігаються з видовженням першого стержня ВВ'=Δl1. Вертикальне переміщення т.С зв'язано з Δl1 залежністю, що випливає з ΔСС'С", тобто Δl2 =СС' sіn α. Але з подібності трикутників Звідки Підставляючи сюди формулу (1.5), одержимо
Отже, для визначення N1 і N2 маємо систему
2N1 + N2 sin α = 5 P; N1 sin 2 α – 3 N2 = 0. Її розв’язком буде
Для числових даних N1 = 48,98 кН, N2 = 4,08 кН, відповідно напруження підраховуються за формулою (1.3), дорівнюють : σ1=4,898 кН/см 2=48,98 МПа, σ2 =0,408 кН/см2 =4,08 МПа. Нехай тепер навантаження відсутнє і необхідно визначити монтажні зусилля, коли стержень 1 був коротше необхідної довжини на δ. У стержні 1 виникає розтягуюче, а в стержні 2 стискаюче зусилля. Остаточна схема деформування зображена на рис. Зг. Положення точок В і В/, відстань між якими до монтажу дорівнює δ, після з'єднання - В// , так що В'В'' = Δl1, . Відрізок СС''=Δl2 . Тоді
З подібності трикутників звідки .
Це і є рівняння сумісності. Підставляючи сюди формулу (1.5) (F1 = ЗF, F2 = 2F ), одержимо або Другим рівнянням для визначення N1 і N2 служить рівняння статики
Остаточно
, .
Для вихідних числових даних
©2015 arhivinfo.ru Все права принадлежат авторам размещенных материалов.
|