Здавалка
Главная | Обратная связь

Тема 1. РОЗРАХУНОК СИСТЕМ, ЩО ПРАЦЮЮТЬ НА



РОЗТЯГ-СТИСК

 

ЛІТЕРАТУРА: 1, р. II; 2, р. II; 3, р. І, § 1—11.

Перш ніж приступити до вивчення теми розтяг-стиск, необхідно познайомитися з поняттями напруження і деформація. Повним напруженням в даній точці на даній площадці є границя відношення зусилля, що діє на площадці, до величини площі цієї площадки при прямуванні останньої до нуля

(1.1)

 

Це векторна величина. Проекція її на нормаль до площини називається нормальним напруженням, а на площину — дотичним напруженням. Деформацією називається відносне видовження елемента

(1.2)

де Δl — абсолютне видовження елемента довжини l .

Надалі необхідно мати на увазі наступні положення. Розтяг-стиск — вид напружено-деформованого стану, при якому в поперечних перерізах бруса (стержня) виникає тільки один силовий фактор — подовжня сила, що визначається методом перерізів. Припущення про те, що нормальні напруження в перерізі розподілені рівномірно, дає можливість визначати їх за формулою

(1.3)

Використання (1.2) і закону Гука (Е — модуль пружності)

(1.4)

приводить до формули для визначення переміщень

(1.5)

Величина ЕF- жорсткість стержня при розтязі-стиску. Формула (1.5) застосовується, якщо N і ЕF постійні по довжині l. Якщо N змінна, наприклад при врахуванні власної ваги, то формула прийме вигляд

(1.6)

При деформуванні в стержні накопичується потенціальна енергія. Величина цієї енергії при постійному зусиллі N визначається для стержня довжиною l за формулою

(1.7)

При нагріванні стержня на Δt °С деформації і видовження підраховуються заформулами:

(1.8)

де α — коефіцієнт температурного розширення матеріалу.

При опрацюванні цього розділу варто ознайомитися з поняттям "коефіцієнт Пуассона"

, (1.9)

 

що характеризує деформацію в поперечному напрямку. Нагадаємо, що цей коефіцієнт змінюється в межах від 0 (крихкі матеріали) до 0,5 (матеріали, що деформуються без зміни об'єму). При розрахунку статично невизначених систем необхідно:

1. Визначити ступінь статичної невизначеності n.

2. Вибрати основну систему і ввести невідомі.

3. Скласти рівняння статики.

4. Скласти рівняння сумісності деформацій за числом, яке відповідає ступеню статичної невизначеності.

5. Розв'язати отриману систему.

Вихідною при розрахунку на міцність є нерівність

(1.10)

Тут [σ ] - допустиме напруження, рівне [σ] = σ гр /[n], де σгр - граничне напруження, [п] - нормативний коефіцієнт запасу міцності.

Вихідним при розрахунку на жорсткість є нерівність

Δl ≤ [Δl] , (1.11)

 

де [Δl] — допустиме видовження.

При розрахунках на міцність і жорсткість виділяється три типи задач:

1. Перевірка міцності і жорсткості.

2. Підбір параметрів перерізу.

3. Визначення допустимих навантажень.

 

Питання, для самоперевірки

1. Що називається напруженням ? Які бувають напруження ?

2. Що таке деформація?

3.Який вид напружено-деформованого стану називається розтяг-стиск?

4. Як підраховується видовження стержня при силовому і температурному впливі?

5. Як визначаються нормальні напруження при розтязі-стиску?

6. Як підраховується потенціальна енергія деформації стержня при розтязі-стиску?

7. Опишіть порядок розрахунку статично невизначених систем при розтязі-стиску.

8. Як проводиться розрахунок на міцність і жорсткість?

9. Перелічіть види розрахунку на міцність і жорсткість.

ПРИКЛАД 1.Нехай стальний стержень має ступінчастий поперечний переріз і навантажений силами Р1 =40 кН і Р2=120 кН. Необхідно побудувати епюри подовжніх сил і нормальних напружень, знайти переміщення перерізу D-D і виписати вираз для потенціальної енергії деформації. Розміри стержня наведені на рис. 1а. Прийняти F1=250 мм2, E =2.105 МПа, F2=400 мм2, l1=1м, l2=400 мм, l3=500 мм.

Розв'язання.Для визначення повздовжніх сил застосуємо метод перерізів. Попередньо виділяємо характерні ділянки, границями яких є місця прикладання зосереджених сил і ступінчастої зміни площі перерізів (на рис. 1 ці ділянки позначені І, II, III). На кожній ділянці проведемо переріз і розглянемо рівновагу відсічених частин (див, рис. 1 б, в, г). З умови ΣХ=0знаходимо N1=40 кН,N2=40 кН, N3=-80 кН (рис. 1 д). Напруження знаходять за формулою (1.3). Епюра σ представлена на рис. 1е. Переміщення перерізувідбувається за рахунок деформації ділянок АВ, ВСі СD. Видовження кожної ділянки підраховують за формулою (1.5). В результаті маємо

 

Потенціальну енергію деформації підраховуємо на ділянках за формулою (1.7).

 
 

 

ПРИКЛАД 2. Для стержня ступінчастого поперечного перерізу, жорстко закріпленого на кінцях і навантаженого силою Р= 6кН (рис. 2а), перевірити міцність. Перевірити міцність також при охолодженні стержня на 10° С, якщо сила відсутня. Прийняти F =1000 мм2 , l1=4м, l2 =2 м, l3 =2 м, Е= 2*105 МПа, α = 12*10 -6 '/град, R = 160 МПа.

 

Розв'язання.Дана система є статично невизначеною (дві реакції А й В і одне рівняння статики). Виберемо основну систему, відкинувши неподатливу опору В, замінивши її вплив силою X (рис. 2,б). Для забезпечення еквівалентності основної і вихідної систем необхідно вимагати, щоб переміщення Δlв=0 (у вихідній системі тут неподатлива опора). Звідси

 

 

Це рівняння служить для визначення X. Для числових даних X = ⅔ Р = 4кН. Тепер неважко побудувати епюру N (мал. 2д) і епюру σ (мал. 2е). Найбільше напруження σmах виявилося менше розрахункового опору R. Отже, міцність забезпечена.

 


 

Рис. 1 Рис. 2

 

 

При розгляді температурної задачі виберемо ту ж основну систему. Переміщення ΔlВ повинне складатися з температурного подовження і подовження за рахунок деформації від сили X.

 
 

 

Звідки Х=32 кН.

Епюри N і σ зображені на рис. 2 ж і на рис. 2 з. Найбільше напруження

 

менше [σ]= 160 МПа . Міцність забезпечена.

 

ПРИКЛАД 3.Необхідно визначити зусилля і напруження в пружних стержнях системи, зображеної на рис. За, під дією заданих сил. Брус АВ вважати абсолютно жорстким. При розрахунках прийняти Р=20кН, F =1000 мм2, l1 = l2 = а = 2м, α = 30°. Якими були б зусилля, якби навантаження було відсутнє,а при збиранні стержень 1 був коротший потрібної величини на δ = 1 мм?

 

Е = 2 * 105 МПа

 

 


Рис. 3

Розв'язання.Розглянута система статично невизначена. Ступінь статичної невизначеності n=1. Число невідомих зусиль в двох стержнях (див. мал. 3 б) на одиницю перевищує число рівнянь статики. Це рівняння буде

або

 

Ще одне рівняння складається за умовою сумісності деформацій стержнів 1 і 2. Повернемо брус АВ на нескінченно малий кут (мал. Зв). Вертикальні переміщення т.В збігаються з видовженням першого стержня ВВ'=Δl1. Вертикальне переміщення т.С зв'язано з Δl1 залежністю, що випливає з ΔСС'С", тобто Δl2 =СС' sіn α. Але з подібності трикутників

Звідки

Підставляючи сюди формулу (1.5), одержимо

 

Отже, для визначення N1 і N2 маємо систему

 

2N1 + N2 sin α = 5 P;

N1 sin 2 α – 3 N2 = 0.

Її розв’язком буде

 

Для числових даних N1 = 48,98 кН, N2 = 4,08 кН, відповідно напруження підраховуються за формулою (1.3), дорівнюють : σ1=4,898 кН/см 2=48,98 МПа, σ2 =0,408 кН/см2 =4,08 МПа.

Нехай тепер навантаження відсутнє і необхідно визначити монтажні зусилля, коли стержень 1 був коротше необхідної довжини на δ. У стержні 1 виникає розтягуюче, а в стержні 2 стискаюче зусилля. Остаточна схема деформування зображена на рис. Зг. Положення точок В і В/, відстань між якими до монтажу дорівнює δ, після з'єднання - В// , так що В'В'' = Δl1, . Відрізок СС''=Δl2 . Тоді

 

З подібності трикутників

звідки

.

 

Це і є рівняння сумісності.

Підставляючи сюди формулу (1.5) (F1 = ЗF, F2 = 2F ), одержимо

або

Другим рівнянням для визначення N1 і N2 служить рівняння статики

 

Остаточно

 

, .

 

Для вихідних числових даних

 

 







©2015 arhivinfo.ru Все права принадлежат авторам размещенных материалов.