Тема 6. РОЗРАХУНОК БАЛОК НА ЗГИН

ЛІТЕРАТУРА: 1, р. VII; 2, р. VIII, § 58—67; 3, р. IV, § 28—30.

При вивченні теми спочатку необхідно познайомитися з визначенням згину і з класифікацією видів згину. Згином називається напружено-деформований стан у брусі (стержні), при якому в поперечному перерізі відмінним від нуля є згинальний момент ( або M_у, чи обоє разом). Якщо відмінним від нуля є тільки один згинальний момент, наприклад , а відповідні осі є головними центральними, то згин називається прямим. В протилежному випадку згин називається косим. Якщо, крім того, поперечна сила , то згин називається чистим, якщо , то згин називається поперечним. Варто звернути увагу на знаки М и Q. Момент вважається додатнім, якщо стискуються “верхні” волокна, a Q вважається додатною, якщо вона прагне повернути елемент за годинниковою стрілкою.

Для успішного засвоєння матеріалу цієї теми насамперед необхідно освоїти методику побудови графіків зміни вздовж осі, або епюр згинальних моментів і поперечних сил для різних балок (узагальнення на рами при цьому виявляється нескладним). Основним при побудові епюр М и Q є застосування методу перерізів. При цьому балка повинна розбиватися на ділянки, на яких немає зосереджених сил чи моментів, опор чи різкої зміни навантаження. При розгляді рівноваги відсічених частин при заміні опор їхніми реакціями необхідно одержати аналітичні залежності М(z) і Q(z). При цьому система координат може бути обрана для кожної ділянки своя. Варто розглядати рівновагу тієї частини, де менше зусиль. При побудові епюр варто дотримуватись визначених правил. Так, епюра М будується на стиснутих волокнах. На епюрі Q відзначають ділянки, де Q додатня – знаком “+”, а де Q від’ємна – знаком “—”. Епюри забезпечуються штрихуванням, перпендикулярним осі балки.

При побудові епюр важливо засвоїти їх властивості:

1. На ділянках, де навантаження відсутнє , епюра Q-постійна, а М — лінійна.

2. На ділянках, де навантаження рівномірно розподілене, епюра Q— лінійна, а М — описується квадратичною параболою з увігнутістю по напрямку дії навантаження.

3. У точках дії зосереджених сил є стрибки в епюрі Q на величину, рівну зосередженій силі, і по напрямку дії цієї сили, а в епюрі М є злам.

4. У точках, де діє зосереджений момент на епюрі М, є стрибок по величині, рівний величині зосередженого моменту, а на епюрі Q наявність зосередженого моменту не відбивається. Стрибок спрямований “униз”, якщо зосереджений момент спрямований проти ходу годинникової стрілки і навпаки.

5. Якщо на епюрі Q є нульова ордината, то в цій точці епюра М має екстремум.

Усі перераховані властивості є наслідком диференціальних залежностей

(6.1)

Ці залежності необхідно вміти виводити. Чітке знання цих залежностей дозволяє контролювати правильність побудови епюр згинальних моментів і поперечних сил.

Крім уміння будувати епюри згинальних моментів і поперечних сил треба повторити техніку обчислення геометричних характеристик поперечних перерізів (див. тему 5).

Далі необхідно вивчити розрахункові передумови, прийняті при виводі формул згину. Ці гіпотези можна сформулювати в такий спосіб:

1. Плоскі до деформації поперечні перерізи залишаються плоскими після деформації й ортогональними до викривленої осі (гіпотеза Бернуллі).

2. Поздовжні волокна не тиснуть одне на одного.

Варто звернути увагу на те, що матеріал розглядається лінійно пружним, так що залишається справедливим закон Гука.

Прийняті гіпотези дозволяють вивести (це виведення необхідно знати) формулу для нормальних напружень

, (6.2)

де у - відстань від точки, у якій обчислюються напруження, до нульової лінії. Нульовою лінією називається слід на поперечному перерізі перетину, волокна якого при згині не розтягуються і не стискуються. Нульова лінія перпендикулярна площині згину. Вона проходить через центр маси перерізу (за умови відсутності подовжньої сили). Формула (6.2) показує, що по висоті перерізу нормальні напруження розподілені за лінійним законом. Найбільше нормальне напруження має місце при

, (6.3)

де . (6.4)

Величина називається моментом опору перерізу при згині.

При розрахунках на міцність необхідно знайти переріз, у якому згинальний момент буде максимальним. Тоді максимальне напруження буде визначатися за формулою (6.3), де повинно бути замінено на .

. (6.5)

Умова міцності має вигляд

, (6.6)

де [ ] — напруження, що допускається, при згині. Варто звернути увагу на те, що в умову міцності входить момент опору W_х. Тому балки, що мають однакові площі поперечного перерізу, по-різному можуть чинити опір згину. При цьому виникає питання про вибір раціонального перерізу балки при згині. Найчастіше таким виявляється переріз близький до двотавра.

При вивченні даної теми варто звернути увагу на особливості поперечного згину і, зокрема, на питання про визначення дотичних напружень, що визначаються за формулою Журавського Д.І.

(6.7)

Тут — поперечна сила, — осьовий момент інерції для всього перерізу відносно нульової лінії, — статичний момент відсіченої частини перерізу відносно нульової лінії, b — ширина перерізу на рівні точки, де визначається дотичне напруження.

Варто звернути увагу на те, що закон зміни по висоті перерізу нелінійний, а найбільше значення досягається в нейтральному шарі, де . Нульові значення будуть мати місце для крайніх волокон, де . В окремому випадку прямокутного поперечного перерізу закон зміни - квадратичний.

Питання для самоперевірки

1. Що таке згин?

2. Які види згину можете назвати?

3. Перелічіть гіпотези, що застосовуються при вивченні згину.

4. Які диференціальні залежності існують між М, Q і q?

5. Який метод застосовується для побудови епюр М и Q?

6. Перелічіть правила побудови епюр.

7. Перелічіть особливості епюр для різних видів навантаження.

8. Як визначаються нормальні напруження при згині?

9. Як проводиться розрахунок на міцність при згині?

10. За якою формулою обчислюються дотичні напруження?

ПРИКЛАД 6. Для балки, зображеної на мал. 6 а, потрібно побудувати епюри згинальних моментів і поперечних сил; підібрати за ГОСТ двотавровий переріз балки з умови міцності, якщо ; підібрати переріз у вигляді прямокутника (h=2b); побудувати епюри нормальних напружень у небезпечному перерізі двотаврової балки; визначити максимальні дотичні напруження для прямокутного перерізу балки.