Главная | Обратная связь

Тема 7. РОЗРАХУНКИ НА МІЦНІСТЬ І ЖОРСТКІСТЬ ПРИ КРУЧЕННІ

 

ЛІТЕРАТУРА:1, р. VI;2, р. VII, § 51—53;3, р. II, § 20—21.

 

При опрацюванні цієї теми необхідно звернути увагу на наступні положення.

Крученням називається напружено-деформований стан у стержні, при якому з усіх силових факторів у поперечному перерізі відмінним від нуля є крутячий момент , що є наслідком дії дотичних напружень

, (7.1)

або

. (7.2)

Для розрахунку необхідно знати, як змінюється крутячий момент по довжині стержня, тобто вміти побудувати епюру . Основним методом побудови епюри служить метод перерізів. У місцях, де діє зосереджений крутячий момент на епюрі буде стрибок на величину цього моменту. На ділянках, де зовнішні моменти відсутні, епюра буде постійною. На епюрі позначається знак “+” чи “—“.Крутячий момент вважається додатним, якщо, дивлячись від кінця осі Oz, бачимо його спрямованим проти ходу годинникової стрілки.

Часто при розрахунку валів у якості вихідних даних вказується не величина моменту, а передана з вала потужність N, кВт. У цьому випадку величину крутячого моменту можна визначити за формулою

(7.3)

Тут кутова швидкість обертання вала (рад/с) дорівнює

(7.4)

де — число обертів за хвилину.

Якщо стержень (вал) має круговий (чи кільцевий) поперечний переріз, то має місце чисте кручення. При цьому при вивченні чистого кручення приймаються наступні гіпотези:

1. Поперечні перерізи, плоскі і паралельні до деформації, залишаються плоскими і паралельними після деформації і відстань між ними не міняється.

2. Поперечні перерізи залишаються круговими, радіуси не змінюють своєї довжини і не викривляються.

Крім того, передбачається, що закон Гука залишається справедливим ( ).

Необхідно розібрати виведення на основі сформульованих вище гіпотез формули для дотичних напружень, що визначаються за формулою

. (7.5)

Ця формула показує, що по радіусі напруження розподілені лінійно і найбільшого значення досягають при ( d – діаметр перерізу)

, (7.6)

де — момент опору при крученні.

Для кільцевого поперечного перерізу ( — внутрішній діаметр)

, (7.7)

де . При =0 одержимо формули для кругового поперечного перерізу.

Кут закручування на довжині визначається за формулою (при постійному на цій ділянці )

. (7.8)

Досить часто на розгляд дається відносний кут закручування (кут закручування на одиницю довжини)

. (7.9)

У формулах (7.8) і (7.9) фігурує величина , яка називається жорсткістю стержня при крученні. При розрахунках на жорсткість звичайно задається не [ ], а [ ], тобто відносний кут закручування, що допускається. Необхідно звернути увагу на те, що він повинен бути заданий у рад/м чи град/м.

При розрахунку на жорсткість повинна бути виконана умова:

. (7.10)

При розрахунку на міцність ставиться умова: найбільше дотичне напруження не повинно перевищувати допустимого напруження [ ].

. (7.11)

Для стержня кільцевого перерізу при визначенні зовнішнього діаметра d при заданому відношенні з врахуванням (7.7), (7.10) і (7.11) одержимо

 

(7.12)

 

Потім розв’язується система отриманих нерівностей і визначається величина d, кратна 5 мм, що є округленням знайденої величини у більшу сторону. При розрахунку вала суцільного перерізу в (7.12) необхідно вважати =0.

Звертає на себе увагу те, що між формулами (1.5), (1.6) і (7.8) є структурна аналогія. Це дозволяє зробити висновок, що статично невизначені задачі на кручення розв’язуються так само, як і при розтягу, оскільки рівняння сумісності складаються аналогічним способом.

 

Питання для самоперевірки

1. Що таке кручення?

2. Які гіпотези приймаються при вивченні чистого кручення стержнів круглого поперечного перерізу?

3. Як визначаються напруження при крученні?

4. Як визначається кут закручування і відносний кут закручування ?

5. Як проводиться розрахунок на міцність і жорсткість?

 

ПРИКЛАД 7. Нехай до вала (мал. 8, а) передається через ведучий шків обертання зі швидкістю п_о об/хв і знімаються потужності і n₂ з робочих шківів. Необхідно побудувати епюру крутячих моментів. З умови міцності і жорсткості визначити діаметр вала. Побудувати епюру кута закручування по довжині. Як зміниться зовнішній діаметр вала, якщо взяти вал кільцевого перерізу ( )?

Нехай: =100 кВт, а=1,2 м, b=1,4 м, c=1,6 м, п₀= 1000 об/хв, [ ]=5рад/м, [ ] = 150 МПа, G=8·10⁴ МПа.

 

Розв’язування. За потужністями знаходимо крутячі моменти

 

 

За знайденими моментами будуємо епюру (див. рис. 8 б).

 

 

Рис. 8

 

Максимальний крутячий момент рівний . З умови міцності (7.12) знаходимо

 

.

 

З умови жорсткості (7.11) отримаємо

 

.

Остаточно приймемо 50мм.

Кут закручування визначений за формулою (7.9), закріпивши один з перерізів, наприклад закріплення ведучого шківа. Тоді у зоні закріплення другого відомого шківа буде

 

 

Кут закручування в місці закріплення першого шківа буде дорівнювати

.

Епюри кутів закручування наведені на мал. 8 в.

Нарешті, визначимо діаметр кільцевого перерізу ( =0,5). З формул (7.13) маємо

 

;

 

 

.