Здавалка
Главная | Обратная связь

Тема 12. РОЗРАХУНОК СТАТИЧНО НЕВИЗНАЧЕНИХ СТЕРЖНЕВИХ СИСТЕМ



ЛІТЕРАТУРА: 1, р. XII; 2, р. X, § 81—83; 3,р. VI, § 42—45.

При розробці даної теми необхідно звернути увагу на наступні положення.

Статично невизначеними стержневими системами називаються системи, розрахунок яких не може бути виконаний при використанні тільки рівнянь статики. Характерним для статично невизначених систем є наявність зайвих в’язей, число яких визначає ступінь статичної невизначеності. Ступінь статичної невизначеності можна визначати різними способами і, зокрема, методом замкнутих контурів. Відповідно до цього методу для системи підраховується число замкнутих контурів К і число простих шарнірів (що з’єднують два стержні) Ш. Тоді ступінь статичної невизначеності дорівнює

n = ЗК - Ш (12.1)

 

Розрахунок статично невизначених систем можна виконати різними методами. При розробці даної теми можна обмежитися тільки одним — методом сил. Відповідно до цього методу розрахунок вихідної статично невизначеної системи може бути замінений розрахунком деякої основної системи, що є статично визначеною і геометрично незмінною і одержується з вихідної шляхом відкидання n зв¢язків і заміною їх дією невідомих сил Xj (j=1, 2, . . ., n). Необхідно звернути увагу на те, що основну систему можна вибрати різними способами.

Далі необхідно використовувати умову еквівалентності, тобто однакової роботи, вихідної й основної систем. Оскільки у вихідній системі є зв’язки, що відсутні в основній системі, то умовою еквівалентності буде вимога рівності нулю переміщень в основній системі по напрямку «зайвих» невідомих Xj. Ці умови приводять до канонічної системи

(12.2)

 

Число цих рівнянь збігається з числом невідомих Xj. Коефіцієнти системи (12.2) мають зміст одиничних переміщень. Так, dkj — є переміщення по напрямку дії сили Хк від Xj, а Dкр — переміщення по напрямку дії сили Хк від зовнішнього навантаження. Ці переміщення визначаються за формулою Мора

, (12.3)

.

Отже, для обчислення цих коефіцієнтів необхідно побудувати для основної системи одиничні епюри при Хк=1 і вантажну епюру Mр від зовнішнього навантаження, а потім використовувати (12.3). Замість застосування формули Мора можна використовувати множення епюр за правилом Верещагіна (див. тему 11).

Для перевірки правильності знайдених коефіцієнтів і вільних членів системи (12.2) використовується:

1) порядкова перевірка; 2) сумарна перевірка; 3) перевірка вільних членів.

Для виконання цих перевірок необхідно побудувати сумарну одиничну епюру

.

Порядкова перевірка має на меті перевірку того, що добуток сумарної одиничної епюри на яку-небудь одиничну дорівнює сумі коефіцієнтів у відповідному рядку канонічної системи.

Сумарна перевірка має на меті перевірку того, що добуток сумарної одиничної епюри самої на себе дорівнює сумі всіх коефіцієнтів системи канонічних рівнянь.

Перевірка вільних членів має на меті перевірку того, що добуток сумарної одиничної епюри на вантажну дорівнює сумі усіх вільних членів.

Розв¢язати систему (12.2) можна будь-яким з відомих способів, наприклад, використовуючи правило Крамера, або метод послідовного виключення невідомих. Після розв¢язку (12.2) будується розрахункова епюра згинних моментів

(12.4)

 

Після побудови епюри згинних моментів на ділянках будується епюра поперечних сил Q з використанням різницевого аналога залежності

(12.5)

Епюра повздовжніх сил будується на ділянках з використанням рівнозначності вузлів (повздовжня сила на перпендикулярній ділянці дорівнює відповідній поперечній силі на ділянці, що розглядається).

Після побудови епюр виконуються загальні перевірки: статична і кінематична.

Статична перевірка полягає в тому, що будь-яка вирізана з вихідної системи частина повинна знаходитися в рівновазі під дією зовнішніх сил і силових факторів у перерізах.

Для виконання кінематичної перевірки необхідно вибрати основну систему, відмінну від використаної при розрахунку, побудувати одну з одиничних епюр і перемножити цю епюру на розрахункову. У випадку правильності побудови епюр цей добуток повинен дорівнювати нулеві.

Крім зазначеного вище, необхідно опрацювати питання про визначення переміщень у статично невизначеній системі й уяснити собі, що при визначенні переміщень одинична епюра по напрямку шуканого переміщення будується для основної системи.

Питання для самоперевірки

 

1. Яка система називається статично невизначеною?

2. Що таке ступінь статичної невизначеності? Як вона знаходиться?

3. У чому суть методу сил?

4. Який зміст має кожне з рівнянь канонічної системи методу сил?

5. Які перевірки виконуються в процесі розрахунку?

6. Як будується розрахункова епюра моментів?

7. Як будується розрахункова епюра Q?

8. Як будується розрахункова епюра N?

9. В чому заключаються загальні статична і кінематична перевірки?

10. Як визначаються переміщення в статично невизначених системах?

 


ПРИКЛАД 15. Для статично невизначеної рами, зображеної на рис.17а, необхідно побудувати розрахункові епюри М, Q, N.

 

Рис. 17

 

Розв¢язання. Розрахунок даної рами виконуємо методом сил. Спочатку необхідно визначити ступінь статичної невизначеності. На систему накладено 5 зв’язків, а рівнянь статики можна скласти тільки 3. Отже, степінь статичної невизначеності дорівнює n=5-3=2. Рама двічі статично невизначена.

Для вибору основної системи необхідно зняти два зв’язки і замінити їх невідомими зусиллями (чи моментами) Х1 і Х2 (мал. 17б). Невідомі знаходимо з канонічної системи (12.2), що у даному випадку має вид:

Кожне з рівнянь цієї системи означає рівність нулю переміщення вздовж напрямку дії невідомої сили.

Для знаходження коефіцієнтів і вільних членів канонічної системи побудуємо вантажну й одиничні епюри. Ці епюри зображені на рис. 17в, 17г і 17д. Коефіцієнти і вільні члени знаходять шляхом перемножування епюр за правилом Верещагіна:

 

При обчисленні d11 і d22 площі й ординати беремо на тих самих епюрах чи М2. Трапецієподібну епюру на правій стійці рами розбиваємо на два трикутники, кожний з який при обчисленні d11 множимо на відповідну ординату трапеції, тобто на 4 чи 5. При обчисленні d12 узята вся площа трапеції 4,5×3 з епюри і помножену на ординату прямокутної епюри M2, яка дорівнює 6.

При обчисленні вільних членів рівнянь узята площа епюри Мр від заданого навантаження й окремих її ділянок помножені на ординати епюр M1 і M2, розташовані проти центра ваги даної ділянки епюри.

Система розрахункових рівнянь має вигляд:

Звідси Х1=-2,67кН,Х2=1,11кН.

Розрахункову епюру моментів будуємо згідно (12.4).

 

Ця епюра наведена на рис. 17 ж.

Для побудови епюри Q використовуємо диференціальну залежність між згинальним моментом і поперечною силою Q і формулою поперечної сили в навантаженому прольоті (12.5).

Розглянемо кожен стержень окремо.

На стержень АС діє рівномірно розподілене навантаження q=1 кН/м. Епюра Q — лінійна. На кінцях вона дорівнює

 







©2015 arhivinfo.ru Все права принадлежат авторам размещенных материалов.