Завдання до розрахунково-графічної роботи

Задача 7*.Розрахунок стержня на позацентровий стиск

Чавунний короткий стержень, поперечний переріз якого зображений на рисунку 1.5., стискається поздовжньою силою Р, прикладеною в точці P.

Необхідно:

а) знайти допустиму стискаючу силу Р при даних розмірах перерізу і допустимих напруженнях для чавуна на стиск та на розтяг ;

б) побудувати епюру нормальних напружень в поперечному перерізі при допустимому навантаженні;

в) побудувати ядро перерізу.

Таблиця 1.1

Варіант	а, м	Матеріал (чавун)

	0,5	СЧ 12
	0,4	СЧ 15
	0,3	СЧ 18
	0,5	СЧ 21
	0,4	СЧ 24
	0,3	СЧ 28
	0,5	СЧ 32
	0,4	СЧ 35
	0,3	СЧ 38
	0,5	СЧ 12

*Нумерація задач починається в посібнику [1]

Рис. 1.5. Схеми до виконання задачі 7

Приклад виконання задачі 7

Коротка чавунна колона (чавун СЧ 12) заданого поперечного перерізу (рис.1.6) стискається силою Р, що прикладена в точці Р. Виконати розрахунок колони згідно з приведеним в задачі 7 порядком виконання.

Рис. 1.6. Схема до прикладу задачі 7

Дано:

чавун СЧ 12,

a = d = 0,3 м.

Знайти:

Р_max, , ядро перерізу -?

Розв’язування

1. Обчислюємо геометричні характеристики заданого перерізу

Координати центра ваги перерізу

Оскільки фігура має вісь симетрії то центр ваги буде лежати на цій осі ( ).

Представимо дану складну фігуру у вигляді комбінації трьох простих : півкола (1) квадрата (2) та прямокутника з від’ємною площею (3) (рис. 1.7). Індекси вказують належність позначення до відповідної фігури.

Площі цих фігур

;

Загальна площа фігури

(м²).

Проведемо допоміжну вісь z. Відстані від координат центрів ваги цих площ до вісі z

;

Шукаємо координату фігури до допоміжної вісі z.

= = 0,218 (м).

Проводимо вісь z_с яка разом з віссю y_с утворює систему головних центральних осей

Рис. 1.7. Визначення центра ваги перерізу

1.2 Визначаємо головні моменти інерції перерізу

Моменти інерції окремих фігур в їхніх центральних осях

J_z1=

J_y1 =

J_y2 = J_z2= = = (м⁴);

J_z₃ = =

J_y₃= =

Знаходимо координати центрів ваги С₁(a₁; b₁), С₂(a₂; b₂) та С₃ (a₃; b₃) в системі центральних осей z_с – y_с.

a₁ = a₂ = a₃ = 0 (м),

b₁ = y₁ – y_c = 0,364 – 0,218 = 0,146 (м),

b₂ = y₂ – y_c = 0,15 – 0,218 = -0,068 (м),

b₃ = y₃ – y_c = 0,025 – 0,218 = -0,193 (м).

Центральні осьові моменти інерції перерізу

J_zс= J_z1+ b₁² ×А₁+ J_z2 + b₂² ×А₂ – J_z3 – b₃² ×А₃ = +0,146²×0,0353+ + + (-0,068)²×0,09 – – (-0,193)²*0,005 = (м⁴);

J_ус= J_у1+ a₁² ×А₁+ J_у2 + a₂² ×А₂ – J_y3 – a₃² ×А₃ =

= J_у1+ J_у2 – J_y3 = + – = (м⁴);

1.3 Визначаємо головні радіуси інерції перерізу

(м²);

(м²).

2. Будуємо нейтральну лінію та визначаємо небезпечні точки перерізу

Будуємо нейтральну лінію через відрізки, які вона відсікає на головних осях

(м);

де (м), (м) – координати точки прикладення сили Р в системі головних центральних осей z_с – y_с.

Відкладаємо в масштабі отримані відрізки та на осях та проводимо нейтральну лінію (рис. 1.8).

Небезпечні точки перерізу є найвіддаленішими від нейтральної лінії. Це точки А і В (рис. 1.8). Координати цих точок в системі z_с – y_с

т. А (точка максимального розтягу „+”) (м), (м);

т. В (точка максимального стиску „-”) (м), (м).

Рис. 1.8. Епюри нормальних напружень

3. Максимальне значення сили Р

3.1 Визначаємо допустимі напруження матеріалу стержня

Для чавуна СЧ 12 границі міцності при розтягу і стиску відповідно МПа, МПа (додаток Б, таблиця Б.5).

Задамося запасом міцності n = 4 (орієнтовні межі 3…5 для крихких матеріалів).

Допустимі напруження матеріалу становлять

(МПа);

(МПа).

3.2 Визначаємо максимально допустиме значення сили Р за умов міцності

;

Звідки

(Н);

(Н).

Приймаємо меншу за модулем силу:

Р_max = 1,07 МН.

3.3 Будуємо епюру нормальних напружень в перерізі

Оскільки ця епюра лінійна, то достатньо визначити напруження в двох точках, зокрема в точках А та В. При прийнятій силі Р = -1,07 МН (знак „-” показує, що вона стискаюча)

(МПа);

(МПа).

Будуємо епюру за отриманими значеннями, відкладаючи в масштабі відрізки (рис. 1.8) та візуально перевіряємо чи перетинає епюра нейтральну лінію в нулі.

3.4 Будуємо ядро перерізу

Проводимо характерні дотичні 1-1, 2-2 ... (нейтральні лінії) до перерізу. По координатам перетину з головними осями , визначаємо координати точки , прикладення сили Р, при якій буде реалізована ця дотична.

Використовуємо формули

; .

Для зручності результати обрахунків приводимо в вигляді таблиці 1.2

Таблиця 1.2

лінія	, м	, м	точка	, м	, м
1-1	-0,218	¥	Р₁	0,065
2-2	¥	-0,15	Р₂		0,048
3-3	0,294	-0,294	Р₃	-0,048	0,025
4-4	0,232	¥	Р₄	-0,061
5-5	0,294	0,294	Р₅	-0,048	-0,025
6-6	¥	0,15	Р₆		-0,048

З’єднуємо послідовно точки Р₁, Р₂, ... Р₆ та заштрихуємо отриману область (рис. 1.9). Ядро перерізу побудовано.

Рис. 1.9. Побудова ядра перерізу

Питання до захисту розрахунково-графічної роботи (задача 7)

1. Записати рівняння нейтральної лінії при позацентровому розтягу-стиску.

2. Записати умову міцності при позацентровому розтягу-стиску.

3. Чому при позацентровому розтягу-стиску зазвичай записують дві умови міцності?

4. Визначити напруження в вказаній точці, використовуючи аналітичний та графічний (з епюр) способи.

5. Побудувати нейтральну лінію, якщо сила Р прикладена в вказаній точці.

6. Що таке ядро перерізу?

7. Для чого потрібно будувати нейтральну лінію?

8. В якій системі координат визначаються координати точок, що входять в розрахункові формули умов міцності?

9. В яких елементах конструкцій реалізуються деформації позацентровому розтягу-стиску – навести приклади.

10. За яким алгоритмом виконують розрахунки стержня при позацентровому розтягу-стиску?

⇐ Предыдущая 1 234 5 6 7 8 9 10 Следующая ⇒