Завдання до розрахунково-графічної роботи

Задача 10. Розрахунок на міцність та визначення переміщення

Бруса малої кривини при згині

Для заданого кривого бруса (рис. 2.15) підібрати двотавровий переріз виходячи з умови міцності по нормальним напругам, якщо МПа. Визначити кут повороту і горизонтальне переміщення перерізу в т. А. Радіус кривини вісі бруса 3 м, матеріал стержня – Ст. 3.

План рішення

1. Побудувати епюри внутрішніх зусиль. Знайти небезпечний переріз.

2. Визначити розміри двотаврового перерізу із умови міцності по нормальним напругам, як для бруса малої кривизни, розташувавши переріз найвигіднішим чином.

3. Користуючись методом Мора, визначити горизонтальне переміщення і кут повороту в точці А без врахування осьової і поперечної сил.

Примітка. При виконанні завдання бажано виконати перевірку інтегрування, користуватись сучасними математичними прикладними пакетами програм (Mathcad, Mathlab, Mathematical тощо)

Таблиця 2.1

№	Р₁, кН	Р₂, кН	М, кНм	α, ^°

Приклад виконання задачі 10

Для заданого кривого бруса (рис. 2.16) підібрати двотавровий переріз, визначити кутове, горизонтальне та вертикальне переміщення перерізу в точці прикладення сили P₂. Матеріал стержня – сталь Ст. 3, допустимі нормальні напруження МПа.

Дано:

P₁= 5 кН; P₂= 10 кН;

М = 4 кН×м; R = 2 м,

a₁ = p/2, a₂ = 3p/2, МПа

Знайти:

N(j), Q(j), М(j); № переріза; , , – ?

Розв’язування

Будуємо епюри внутрішніх силових факторів*

Розділяємо стержень на дві ділянки і складаємо рівняння поздовжніх, поперечних сил та згинальних моментів для кожної з них (рис. 2.17).

* Методика побудови епюр для кривого стержня детально викладена, наприклад, в [1]

Рис. 2.15. Схеми до виконання задачі 10

Ділянка АВ

0 £ j₁ £ p/2.

N(j₁) = –P₁×cos(j₁) = –5×cos(j₁);

Q(j₁ ) = –P₁×sin(j₁) = –5×sin(j₁);

М(j₁ ) = –P₁×R×[1 – cos(j₁)] = –10×[1 – cos(j₁)].

Ділянка ВС

0 £ j₂ £ p.

N(j₂) = –P₁×cos(j₂ +a₁) – P₂×sin(j₂) = –5cos(j₂ + p/2) – 10sin(j₂) = -5×sin(j₂);

Q(j₂ ) = –P₁×sin(j₂ +a₁) + P₂×cos(j₂) = –5×sin(j₂+p/2) +10×cos(j₂) = 5×cos(j₂);

М(j₂ ) = –P₁×R×[1 – cos(j₂ + a₁)] + P₂×R×sin(j₂) + М =

= –10×[1 – cos(j₂)] + 20×sin(j₂ – p/2) + 4 = -6 + 10×sin(j₂).

З інтервалом в p/6 (30⁰) знаходимо значення внутрішніх силових факторів в перерізах (таблиця 2.2).

Таблиця 2.2

	Ділянка АВ 0 £ j₁ £ p/2	Ділянка ВС 0£ j₂ £ p
0⁰	30⁰	60⁰	90⁰	0⁰	30⁰	60⁰	90⁰	120⁰	150⁰	180⁰
N(j) , кН	-5	-4,33	-2,5			-2,5	-4,33	-5	-4,33	-2,5
Q(j), кН		-2,5	-4,33	-5		4,33	2,5		-2,5	-4,33	-5
М(j), кН×м		-1,34	-5	-10	-6	-1	2,66		2,66	-1	-6

За отриманими значеннями будуємо на осі криволінійного стержня епюри поздовжніх N(j), поперечних сил Q(j) та згинальних моментів М(j) (рис. 2.17).

Ординати згинальних моментів відкладені в сторону стиснутих волокон без вказівки знаку. При прийнятому правилі знаків ординати зі знаком “+” до центра кривизни від осі стержня, “–” від центра кривизни від осі стержня. При побудові на розтягнутих волокнах – навпаки.

Рис. 2.17. Епюри внутрішніх зусиль

1. Підбираємо переріз за умови міцності

Поперечними та поздовжніми силами нехтуємо. Також нехтуємо зміщенням нейтральної лінії від вісі стержня за рахунок малості його кривини.

Отже умова міцності

Необхідний момент опору

(м³)= 297,8 см³.

За сортаментом підбираємо двотавр №24а (додаток В), для якого см³, І_z= 3800 см⁴.

3. Визначаємо переміщення перерізу в т. А (кутове, горизонтальне, вертикальне та повне)

Згідно формули Мора для плоского стержня малої кривини

Нехтуємо переміщенням від дії поперечних та поздовжніх сил та переходимо до інтегрування по центральному куту j₂ ( 0 £ j₂ £ p)

3.1 Кутове переміщення

Для визначення кутового переміщення прикладемо в т. В одиничний згинальний момент (рис. 2.18).

(j₂) = -6 + 10×sin(j₂) .

Згинаючий момент в перерізі від цієї сили

(j₂) = = 1.

(рад) = 0,017⁰ .

Значення інтегралів в виразі знаходили, використовуючи допоміжну таблицю додатка Д .

Знак “+” означає, що переріз повертається за напрямком одиничного момента .

3.2 Вертикальне переміщення

Для визначення вертикального переміщення прикладемо в т. В вертикальну одиничну силу (рис. 2.19).

Рис. 2.18. Визначення кутового Рис. 2.19. Визначення вертикального

переміщення переміщення

Згинаючий момент в перерізі від цієї сили

(j₂) = - ×R (1 – cos (j₂)) = -1×2× (1 – cos (j₂)) = -2 + 2 cos (j₂).

= -0,000577 (м) = -0,577 мм.

Знак “–” означає, що переріз переміщується проти напрямку одиничної сили , тобто, вниз.

3.3 Горизонтальне переміщення

Для визначення горизонтального переміщення прикладемо в т. В горизонтальну одиничну силу.

Рис. 2.20. Визначення горизонтального переміщення

Згинаючий момент в перерізі від цієї сили

(j₂) = - ×R×sin(j₂) = -1×2× sin(j₂) = -2 sin(j₂).

-0,00187 (м) = -1,87 мм.

Знак “–” означає, що переріз переміщується проти напрямку одиничної сили , тобто, ліворуч.

Повне переміщення знаходимо за теоремою Піфагора

(мм).

Відповідь: двотавр №14, = 0,017⁰, =0,577 мм, = 1,87 мм.

Питання до захисту розрахунково-графічної роботи (задача 10)

1. Які епюри будуються для розрахунку на міцність кривих плоских стержнів? Пояснити необхідність кожної епюри.

2. Записати інтеграл Мора при визначенні переміщень переріза кривого стержня та пояснити його.

3. За яким алгоритмом визначаються переміщення в стержневих системах довільної конфігурації?

4. Що називається вантажним станом?

5. Що називається одиничним станом?

6. Які відмінності розрахунку лінійного і кутового переміщення кривого стержня?

7. Що означає знак мінус перед числом визначеного переміщення?

8. Як визначити повне переміщення перерізу та його напрямок?

9. Визначити переміщення (кутове або лінійне) вказаного перерізу.

10. Чому при розрахунку переміщень стержневих конструкцій використовують лише залежності згинаючого моменту?

⇐ Предыдущая 5 6 7 8 91011 12 13 14 Следующая ⇒