 |
|
Абсолютная и относительная погрешности приближения
Приближенным значением величины называется число, которое незначительно отличается от ее точного значения и заменяет его в вычислениях.
Причины использования приближенных значений величин: неточность измерений значений величин (ни один самый совершенный измерительный прибор не обеспечивает абсолютной точности измерения); округление чисел; использование приближенных методов вычислений (для многих задач не существует точных методов решения).
Для оценки точности приближения используются такие понятия, как абсолютная и относительная погрешности.
Пусть 
– точное значение величины, 
– ее приближенное значение.
Определение 1. Абсолютной погрешностью приближения называется число
.
Определение 2. Относительной погрешностью приближения называется число
.
Если нужно оценить относительную погрешность в процентах (для большей наглядности, то используют формулу 
.
Замечание. Поскольку точное значение величины обычно неизвестно, то и точных значений погрешностей найти нельзя, поэтому указывают предельные погрешности, или границы погрешностей.
Определение 3. Предельной абсолютной погрешностью приближения называется число 
такое, что 
.
Тогда 
Записывают это так: 
.
Определение 4. Предельной относительной погрешностью приближения называется число 
такое, что 
.
Можно считать, что 
.
Пример. Найти предельные погрешности приближения 
числа 
.
.
Замечание 1. Значения погрешностей и их границ округляются всегда с избытком.
Замечание 2. И число 
, и число 
являются значениями предельной погрешности 
, но первое значение более точное. Аналогично, числа 
, 
и 
являются значениями предельной погрешности , из них первое значение самое точное. С какой точностью снежно указать предельные погрешности, зависит от конкретной ситуации.
Замечание 3. О том, насколько мало приближенное значение величины отличается от ее точного значения, судят по относительной погрешности. В данном примере она не превышает . Это значит, что для вычислений в земных масштабах приближение 
достаточно точное.