Здавалка
Главная | Обратная связь

Произведения и частного приближенных величин



Теорема. Предельная относительная погрешность произведения или частного приближений равна сумме предельных относительных погрешностей этих приближений:

и .

Указание. Зависимость между предельными абсолютной и относительной погрешностями имеет вид: .

Пример. Найти предельные абсолютную и относительную погрешности частного приближений и , если все цифры приближений являются верными в строгом смысле.

Решение. 1) (в частном оставляем 3 значащие цифры, так как у делимого их 5, а у делителя 3).

2) Поскольку все цифры приближений верные в строгом смысле, то (половина разряда тысячных), (половина разряда десятых).

Тогда , ,

,

Тогда .

Замечание. Так как , то в числе 0,674 верной в строгом смысле является только цифра 6 в разряде десятых, поэтому следует записать: .

.Ответ: , .

Вопрос 7. Верные в строгом и в широком смысле цифры приближения.

Нахождение верных цифр суммы и разности приближенных величин

 

Вопрос 8. Верные в строгом и в широком смысле цифры приближения.

Нахождение верных цифр произведения и частного приближенных величин

Определение 1. Цифра в записи называется верной в строгом смысле, если абсолютная погрешность не превышает половины единицы разряда, в которой она записана.

Определение 2. Цифра в записи числа называется верной в широком смысле, если абсолютная погрешность не превышает единицы разряда, в которой она записана.

Пример. .

Цифра 2 в разряде десятых верная в широком смысле, так как .

В строгом смысле верной цифра 2 не является, так как. .

Цифра 5 в разряде сотых сомнительная, так как .

Цифра 9 в разряде целых верная в строгом смысле (а значит и в широком), так как . Тогда цифра 3 в разряде сотен и цифра 1 в разряде тысяч тоже верные в стогом смысле.

Определение 3. Значащими цифрами приближения называются все цифры числа, начиная с первой слева, отличной от нуля, до последней, за которая является верной в строгом или в широком смысле.

Пример 1. Если измерение произведено с точностью до 0,0001 и дало результат 0,0320, то значащими цифрами являются 3, 2 и 0 в конце числа.

Пример 2. Если в числе 7508000000 верными являются только первые 6 цифр, то они и являются значащими цифрами, а последние 4 нуля значащими цифрами не являются. Если же представить данное число в виде , то в этой записи числа все цифры верные, следовательно, все цифры значащие.

Правило 1. При сложении и вычитании приближенных чисел в результате следует сохранить столько десятичных знаков, сколько их в приближенном данном с наименьшим числом десятичных знаков.

Пример 3. Вычислить сумму , считая все цифры каждого слагаемого верными в строгом смысле.

Наименьшее количество десятичных знаков (цифр дробной части числа) содержит второе слагаемое. Поэтому в сумме нужно сохранить 3 десятичных знака.

Замечание. Слагаемые с большим количеством десятичных знаков можно предварительно округлить с наименьшей погрешностью, оставив одну «запасную» цифру (при сложении абсолютная погрешность суммы равна сумме абсолютных погрешностей слагаемых, вот пусть она и накапливается в запасном разряде).

Сравним вычисления разными способами.

1) . Цифра 6 в разряде тысячных увеличена на 1, так как первая отброшенная цифра 6 больше, чем 4.

2) .

3) .

Видим, что в последнем случае результат отличается от предыдущих, так что «запасные» цифры следует оставлять.

Правило 2. При умножении и делении приближенных чисел в результате следует сохранить столько значащих цифр, сколько их в приближенном данном с наименьшим числом верных значащих цифр.

Пример 3. Вычислить произведение , считая все цифры каждого множителя верными в строгом смысле.

Поскольку все цифры каждого числа верные, то все они являются значащими цифрами. В первом множителе 3 верных значащих цифры, во втором 5, в третьем 4. В произведении нужно сохранит 3 значащие цифры. Получаем: .

Замечание. Если какие-то множители содержат больше значащих цифр, чем их нужно оставить у произведения, для упрощения вычислений их можно предварительно округлить с наименьшей погрешностью, оставив одну «запасную» цифру.

Пример 4. .

Так как произведение должно содержать 3 значащих цифры, округляем его с наименьшей погрешностью до десятых, получаем 1330. Чтобы не было сомнений, является ли последняя цифра 0 значащей, представляем произведение в экспоненциальной форме. Получаем .

Деление чисел выполняется по тем же правилам, что и умножение.

Пример 5. Вычислить частное .

Получаем: .

Делимое содержит 3 значащих цифры. Делитель содержит 6 значащих цифр (все, не равные нулю), поэтому округляем его до 4 значащих цифр. В частном следует оставить 3 значащих цифры, поэтому округляем его до тысяч и представляем в экспоненциальной форме.

Вопрос 9. Уравнение с одной переменной. Корень уравнения. Равносильные

уравнения (определения и примеры). Теоремы о равносильности уравнений

Определение 1. Уравнением с одной переменной называется утверждение вида , где и – выражения с переменной .

Определение 2. Областью определения уравнения (или областью допустимых значений уравнения) с одной переменной называется множество всех значений этой переменной, при которой определены обе части уравнения.

Ясно, что область определения уравнения является пересечение областей определения всех входящих в него функций. Областью определения уравнения является множество .

Определение 3. Корнем (или решением) уравнения с одной переменной называется число, при подстановке которого в уравнение вместо переменной это уравнение превращается в верное числовое равенство.

Пример. Пусть дано уравнение .

При получается числовое равенство , то есть . Так как это числовое равенство верное, то число является корнем данного уравнения.

При получается числовое равенство , то есть . Так как это числовое равенство неверное, то число не является корнем данного уравнения.

Определение 4. Два уравнения называются равносильными, если они имеют одно и то же множество корней (или если оба уравнения не имеют корней; в этом случае множество корней пустое).

Пример. Уравнения и равносильны, так как оба уравнения имеют корни .

Уравнения и не являются равносильными, так как второе уравнение имеет два корня , а первое только один корень (число 2 не является корнем первого уравнения, так как не принадлежит его области определения: при знаменатель дроби обращается в нуль).







©2015 arhivinfo.ru Все права принадлежат авторам размещенных материалов.