Произведения и частного приближенных величин
Теорема. Предельная относительная погрешность произведения или частного приближений равна сумме предельных относительных погрешностей этих приближений: и . Указание. Зависимость между предельными абсолютной и относительной погрешностями имеет вид: . Пример. Найти предельные абсолютную и относительную погрешности частного приближений и , если все цифры приближений являются верными в строгом смысле. Решение. 1) (в частном оставляем 3 значащие цифры, так как у делимого их 5, а у делителя 3). 2) Поскольку все цифры приближений верные в строгом смысле, то (половина разряда тысячных), (половина разряда десятых). Тогда , , , Тогда . Замечание. Так как , то в числе 0,674 верной в строгом смысле является только цифра 6 в разряде десятых, поэтому следует записать: . .Ответ: , . Вопрос 7. Верные в строгом и в широком смысле цифры приближения. Нахождение верных цифр суммы и разности приближенных величин
Вопрос 8. Верные в строгом и в широком смысле цифры приближения. Нахождение верных цифр произведения и частного приближенных величин Определение 1. Цифра в записи называется верной в строгом смысле, если абсолютная погрешность не превышает половины единицы разряда, в которой она записана. Определение 2. Цифра в записи числа называется верной в широком смысле, если абсолютная погрешность не превышает единицы разряда, в которой она записана. Пример. . Цифра 2 в разряде десятых верная в широком смысле, так как . В строгом смысле верной цифра 2 не является, так как. . Цифра 5 в разряде сотых сомнительная, так как . Цифра 9 в разряде целых верная в строгом смысле (а значит и в широком), так как . Тогда цифра 3 в разряде сотен и цифра 1 в разряде тысяч тоже верные в стогом смысле. Определение 3. Значащими цифрами приближения называются все цифры числа, начиная с первой слева, отличной от нуля, до последней, за которая является верной в строгом или в широком смысле. Пример 1. Если измерение произведено с точностью до 0,0001 и дало результат 0,0320, то значащими цифрами являются 3, 2 и 0 в конце числа. Пример 2. Если в числе 7508000000 верными являются только первые 6 цифр, то они и являются значащими цифрами, а последние 4 нуля значащими цифрами не являются. Если же представить данное число в виде , то в этой записи числа все цифры верные, следовательно, все цифры значащие. Правило 1. При сложении и вычитании приближенных чисел в результате следует сохранить столько десятичных знаков, сколько их в приближенном данном с наименьшим числом десятичных знаков. Пример 3. Вычислить сумму , считая все цифры каждого слагаемого верными в строгом смысле. Наименьшее количество десятичных знаков (цифр дробной части числа) содержит второе слагаемое. Поэтому в сумме нужно сохранить 3 десятичных знака. Замечание. Слагаемые с большим количеством десятичных знаков можно предварительно округлить с наименьшей погрешностью, оставив одну «запасную» цифру (при сложении абсолютная погрешность суммы равна сумме абсолютных погрешностей слагаемых, вот пусть она и накапливается в запасном разряде). Сравним вычисления разными способами. 1) . Цифра 6 в разряде тысячных увеличена на 1, так как первая отброшенная цифра 6 больше, чем 4. 2) . 3) . Видим, что в последнем случае результат отличается от предыдущих, так что «запасные» цифры следует оставлять. Правило 2. При умножении и делении приближенных чисел в результате следует сохранить столько значащих цифр, сколько их в приближенном данном с наименьшим числом верных значащих цифр. Пример 3. Вычислить произведение , считая все цифры каждого множителя верными в строгом смысле. Поскольку все цифры каждого числа верные, то все они являются значащими цифрами. В первом множителе 3 верных значащих цифры, во втором 5, в третьем 4. В произведении нужно сохранит 3 значащие цифры. Получаем: . Замечание. Если какие-то множители содержат больше значащих цифр, чем их нужно оставить у произведения, для упрощения вычислений их можно предварительно округлить с наименьшей погрешностью, оставив одну «запасную» цифру. Пример 4. . Так как произведение должно содержать 3 значащих цифры, округляем его с наименьшей погрешностью до десятых, получаем 1330. Чтобы не было сомнений, является ли последняя цифра 0 значащей, представляем произведение в экспоненциальной форме. Получаем . Деление чисел выполняется по тем же правилам, что и умножение. Пример 5. Вычислить частное . Получаем: . Делимое содержит 3 значащих цифры. Делитель содержит 6 значащих цифр (все, не равные нулю), поэтому округляем его до 4 значащих цифр. В частном следует оставить 3 значащих цифры, поэтому округляем его до тысяч и представляем в экспоненциальной форме. Вопрос 9. Уравнение с одной переменной. Корень уравнения. Равносильные уравнения (определения и примеры). Теоремы о равносильности уравнений Определение 1. Уравнением с одной переменной называется утверждение вида , где и – выражения с переменной . Определение 2. Областью определения уравнения (или областью допустимых значений уравнения) с одной переменной называется множество всех значений этой переменной, при которой определены обе части уравнения. Ясно, что область определения уравнения является пересечение областей определения всех входящих в него функций. Областью определения уравнения является множество . Определение 3. Корнем (или решением) уравнения с одной переменной называется число, при подстановке которого в уравнение вместо переменной это уравнение превращается в верное числовое равенство. Пример. Пусть дано уравнение . При получается числовое равенство , то есть . Так как это числовое равенство верное, то число является корнем данного уравнения. При получается числовое равенство , то есть . Так как это числовое равенство неверное, то число не является корнем данного уравнения. Определение 4. Два уравнения называются равносильными, если они имеют одно и то же множество корней (или если оба уравнения не имеют корней; в этом случае множество корней пустое). Пример. Уравнения и равносильны, так как оба уравнения имеют корни . Уравнения и не являются равносильными, так как второе уравнение имеет два корня , а первое только один корень (число 2 не является корнем первого уравнения, так как не принадлежит его области определения: при знаменатель дроби обращается в нуль). ©2015 arhivinfo.ru Все права принадлежат авторам размещенных материалов.
|