Здавалка
Главная | Обратная связь

Теоремы о равносильности уравнений



Теорема 1. Если функция определена на множестве , то уравнение равносильно уравнению .

Следствие. Если любое слагаемое перенести из одной части уравнения в другую с противоположным знаком, то получится уравнение, равносильное данному.

Теорема 2. Если функция определена на множестве и на множестве , то уравнение равносильно уравнению .

Вопрос 10. Неравенство с одной переменной. Решение (как результат) неравенства.

Равносильные неравенства (определения и примеры).

Теоремы о равносильности неравенств

Определение 1. Неравенством с одной переменной называется утверждение одного из видов: , , , , , где и – выражения с переменной .

Определение 2. Областью определения неравенства (или областью допустимых значений неравенства) с одной переменной называется множество всех значений этой переменной, при которой определены обе части неравенства.

Ясно, что область определения неравенства является пересечение областей определения всех входящих в него функций. Областью определения каждого из неравенств, перечисленных в определении 1, является множество .

Определение 3. Решением неравенства с одной переменной называется число, при подстановке которого в неравенство вместо переменной это неравенство превращается в верное числовое неравенство.

Пример. Пусть дано неравенство .

При получается числовое неравенство , то есть . Так как это числовое неравенство верное, то число является решением данного неравенства.

При получается числовое неравенство , то есть . Так как это числовое неравенство неверное, то число не является решением данного неравенства.

Определение 4. Два неравенства называются равносильными, если они имеют одно и то же множество решений (или если оба неравенства не имеют решений; в этом случае множество решений пустое).

Пример. Неравенства и равносильны, так как множеством решений каждого из них является промежуток .

Неравенства и не являются равносильными, так как число 2 является решением первого неравенства ( числовое неравенство верное), но не является решением второго неравенства (при знаменатель дроби обращается в нуль).







©2015 arhivinfo.ru Все права принадлежат авторам размещенных материалов.