Теоремы о равносильности уравнений
Теорема 1. Если функция определена на множестве , то уравнение равносильно уравнению . Следствие. Если любое слагаемое перенести из одной части уравнения в другую с противоположным знаком, то получится уравнение, равносильное данному. Теорема 2. Если функция определена на множестве и на множестве , то уравнение равносильно уравнению . Вопрос 10. Неравенство с одной переменной. Решение (как результат) неравенства. Равносильные неравенства (определения и примеры). Теоремы о равносильности неравенств Определение 1. Неравенством с одной переменной называется утверждение одного из видов: , , , , , где и – выражения с переменной . Определение 2. Областью определения неравенства (или областью допустимых значений неравенства) с одной переменной называется множество всех значений этой переменной, при которой определены обе части неравенства. Ясно, что область определения неравенства является пересечение областей определения всех входящих в него функций. Областью определения каждого из неравенств, перечисленных в определении 1, является множество . Определение 3. Решением неравенства с одной переменной называется число, при подстановке которого в неравенство вместо переменной это неравенство превращается в верное числовое неравенство. Пример. Пусть дано неравенство . При получается числовое неравенство , то есть . Так как это числовое неравенство верное, то число является решением данного неравенства. При получается числовое неравенство , то есть . Так как это числовое неравенство неверное, то число не является решением данного неравенства. Определение 4. Два неравенства называются равносильными, если они имеют одно и то же множество решений (или если оба неравенства не имеют решений; в этом случае множество решений пустое). Пример. Неравенства и равносильны, так как множеством решений каждого из них является промежуток . Неравенства и не являются равносильными, так как число 2 является решением первого неравенства ( числовое неравенство верное), но не является решением второго неравенства (при знаменатель дроби обращается в нуль). ©2015 arhivinfo.ru Все права принадлежат авторам размещенных материалов.
|