Здавалка
Главная | Обратная связь

Свойство графика периодической функции



Функция называется ограниченной, если существует такое положительное число m, что для всех значений аргумента х, взятых из области определения функции, выполняется условие .

Примеры: Функции , , являются ограниченными, так как , , .

Функции , не являются ограниченными, так как принимают значения, как угодно большие по абсолютной величине.

Свойство графика ограниченной функции: так как , то есть , то график функции располагается внутри полосы, ограниченной прямыми и (эти прямые параллельны оси ординат).

Функция называется периодической, если существует число такое, что для любого значения x, взятого из области определения функции, выполняются равенства: .

Число T называется периодом функции f(x).

Замечание. Если число Т является периодом функции f(x), то и любое число Т∙n, n Z, тоже является ее периодом, поэтому обычно указывают наименьший положительный период функции.

Свойство графика периодической функции: график периодической функции состоит из повторяющихся частей, поэтому достаточно тщательно построить график на любом промежутке длиной в период, а затем повторить построенный отрезок графика нужное число раз.

Примеры: Функции и имеют наименьший положительный период 2p, а функции и имеют наименьший положительный период p.

36. Арифметические операции над функциями. Сложная функция

Определение 1. Две функции и Область определения этой функции называются равными, если их области определения совпадают и для любого значения , принадлежащего области определения, функции принимают одно и то же значение:

.

Определение 2. Суммой функций и называется функция , которая для каждого , принадлежащего множеству , принимает значение .

Область определения этой функции , то есть функция определена для тех значений , для которых определена каждая из функций и .Множество ,о котором говорится в определении, должно быть подмножеством множества .

Пример. Если , ,то .

Так как , , то .

Определение 3. Разностью функций и называется функция , которая для каждого , принадлежащего множеству , принимает значение . Область определения этой функции .

Определение 3. Произведением функций и называется функция , которая для каждого , принадлежащего множеству , принимает значение . Область определения этой функции .

Замечание. Так как , где , то специального определения разности функций можно и не вводить.

Определение 4. Частным функций и называется функция , которая для каждого , принадлежащего множеству , принимает значение .

Область определения этой функции , где , то есть функция определена для тех значений , для которых определена каждая из функций и , причем функция не принимает нулевых значений.

Определение 4. Пусть функция определена на множестве , а функция определена на множестве , содержащем все значения функции (то есть ). Тогда функция , определенная на множестве , называется сложной функцией, составленной из функций и , или суперпозицией (или композицией) функций и .

Пример 1. Пусть , . Тогда .

Функция определена при , но ее множеством значений является множество , а область определения функции не содержит отрицательных чисел, поэтому, чтобы функция была определена, должно выполняться условие , или . Поэтому функцию нужно рассматривать на множестве .

Пример 2. Пусть , . Тогда .

Функция определена при , но, поскольку , то , то есть множество значений функции . Область определения функции не содержит отрицательных чисел, поэтому сложная функция не определена ни при одном действительном значении .

Вопрос 22. Функция, обратная данной функции. Условие обратимости функции.

Свойство графиков взаимно обратных функций

Определение 1. Функция называется обратимой на данном промежутке, если для любого значения , принадлежащего этому промежутку, уравнение имеет единственное решение.

Замечание. Промежуток может быть и замкнутым, и открытым, и полуоткрытым.

Теорема 1. Чтобы функция была обратимой на данном промежутке, достаточно, чтобы она была строго монотонной на этом промежутке (то есть возрастающей или убывающей).

Замечание. Необходимым условием монотонность функции на промежутке не является.

Определение 1. Пусть функция обратима на данном промежутке, то есть для любого значения , принадлежащего этому промежутку, уравнение имеет единственное решение . Тогда функция называется обратной функцией для функции на данном промежутке.

Замечание. Функция в свою очередь является обратной для функции , поэтому эти функции называют взаимно обратными.

Теорема 2. Графики взаимно обратных функций и симметричны относительно прямой .

Пример. Функция является строго возрастающей, а значит обратимой, на промежутке . Уравнение имеет единственное решение при . Тогда функция является обратной для функции на промежутке .

На рисунке видно, что графики симметричны относительно прямой .

 

38. Преобразования графиков: параллельный перенос, симметрия относительно осей координат и симметрия относительно начала координат, симметрия

относительно прямой y = x, растяжение и сжатие вдоль осей координат

График функции получается параллельным переносом графика функции на а единиц влево.

График функции получается параллельным переносом графика функции на а единиц вправо.

График функции получается параллельным переносом графика функции на b единиц вверх.

График функции получается параллельным переносом графика функции на b единиц вниз .

График функции получается из графика функции растяжением в k раз от оси абсцисс (при k<1 это растяжение фактически является сжатием).

График функции получается из графика функции растяжением в k раз от оси абсцисс и симметрией относительно оси абсцисс.

Графики взаимно обратных функций и получаются симметрией друг друга относительно прямой .







©2015 arhivinfo.ru Все права принадлежат авторам размещенных материалов.