 |
|
Действия с десятичными дробями: сравнение, сложение, вычитание, умножение, деление
Натуральные числа, целые числа, рациональные и иррациональные числа,
Действительные числа (определения и примеры)
Определение 1.Натуральными числами называются числа, используемые для подсчета или нумерации предметов, не делимых на части.
Множество всех натуральных чисел обозначают буквой N. 
.
Замечание. Самого большого натурального числа нет, так как, прибавив к сколь угодно большому натуральному числу единицу, получим еще большее натуральное число.
Определение 2.Целыми числами называются числа натуральные, противоположные натуральным и число ноль.
Множество всех целых чисел обозначают буквой Z.
.
Определение 3.Рациональным числом называется число, представимое в виде отношения целого числа к натуральному числу.
Множество всех рациональных чисел обозначают буквой Q.
.
К рациональным числам относятся целые числа, обыкновенные дроби, конечные десятичные дроби и бесконечные периодические десятичные дроби.
Примеры рациональных чисел:
Определение 4.Иррациональным числом называется число, не представимое в виде отношения целого числа к натуральному числу.
Множество всех иррациональных чисел обозначают буквой I.
К иррациональным числам относятся бесконечные непериодические десятичные дроби.
Примеры иррациональных чисел: 
Определение 5.Действительным числом называется число, представимое в виде конечной или бесконечной десятичной дроби.
Множество всех действительных чисел обозначают буквой R.
Замечание. Число является действительным, если оно рациональное или иррациональное, то есть множество действительных чисел является объединением множества рациональных чисел и множества иррациональных чисел: 
.
Действия с обыкновенными дробями: сравнение, сложение, вычитание,
Умножение, деление
Определение 1. Обыкновенной дробью называется число вида 
, где 
и 
– натуральные числа. Число называется числителем дроби, число называется знаменателем дроби.
Знаменатель дроби показывает, на сколько равных частей разделили единицу. Числитель дроби показывает, сколько таких частей взяли.
Дробь называется правильной, если ее числитель меньше знаменателя. Дробь называется неправильной, если ее числитель больше знаменателя или равен ему.
Если дробь неправильная, то, разделив числитель на знаменатель с остатком, можно выделить целую часть, то есть представить дробь как смешанную, а именно: если 
, то 
.
Смешанную дробь можно представить как неправильную: 
.
Правила сравнения обыкновенных дробей
1. Если знаменатели дробей равны, то больше та дробь, у которой числитель больше.
2. Если числители дробей равны, то больше та дробь, у которой знаменатель меньше.
3. Если и числители, и знаменатели дробей неравные, то сначала нужно привести дроби к общему знаменателю 
, а затем использовать правило 1.
Примеры: 1) 
, так как 
; 2) 
, так как 
;
3) 
, так как 
, 
и 
.
Правила сложения и вычитания обыкновенных дробей
1. При сложении (вычитании) обыкновенных дробей, знаменатели которых равны, нужно сложить (вычесть) числители дробей, а знаменатель оставить общий: 
.
2. Если знаменатели дробей разные, нужно сначала привести дроби к общему знаменателю, а затем использовать правило 1: 
.
3. При сложении (вычитании) смешанных дробей нужно сложить (вычесть) отдельно целые части и отдельно дробные части. Если дробная часть получается неправильная, из нее нужно выделить целую часть.
Примеры: 1) 
; 2) 
;
3) 
;
4) 
.
Правила умножения обыкновенных дробей:
1. При умножении обыкновенных дробей нужно числитель первой дроби умножить на числитель второй дроби, знаменатель первой дроби умножить на знаменатель второй дроби и разделить первое произведение на второе: 
.
2. При умножении смешанных дробей нужно сначала представить их как неправильные: 
.
Пример. 
.
Правила деления обыкновенных дробей:
1. При делении обыкновенных дробей нужно первую дробь умножить на дробь, обратную второй дроби: 
.
2. При делении смешанных дробей нужно сначала представить их как неправильные: 
.
Пример. 
.
Действия с десятичными дробями: сравнение, сложение, вычитание, умножение, деление
Десятичной дробью называется дробь, знаменатель которой
Правило сравнения обыкновенных дробей. Десятичные дроби сравниваются поразрядно, начиная со старшего. Если цифры в первых k разрядах равные, а цифры в (k+1)-ом разряде неравные, то большей из этих цифр соответствует большее число.
Пример. 
, так как в разряде тысячных 
.
Правила сложения и вычитания десятичных дробей.Сложение и вычитание десятичных дробей выполняется так же, как для целых чисел, но необходимо записать цифры одноименных разрядов друг под другом (а запятую под запятой). Если в одном из чисел разрядов в дробной части меньше, чем в другом, нужно заполнить их нулями.
Примеры. 
Правило умножения десятичных дробей.Сначала нужно перемножить десятичные дроби так же, как целые числа, не принимая во внимание десятичную запятую. Затем применяется следующее правило: количество десятичных знаков в произведении равно сумме десятичных знаков во всех сомножителях.
Замечание: до того, как в произведении проставлена десятичная точка, нельзя отбрасывать нули в конце числа!
Пример. Найти произведение чисел 
и 
.
Перемножив целые числа 3078 и 65, получаем число 
. Сумма десятичных знаков (цифр в дробной части) сомножителей равна 3 + 4 = 7. Произведение содержит только 6 цифр. Поэтому необходимо добавить один ноль слева (получаем 
) и проставить перед ним десятичную точку (получаем 
). Последний ноль в дробной части можно не записывать. Получаем: 
.
Правила деления десятичных дробей
1. Деление десятичной дроби на целое число. Если делимое меньше делителя, записываем ноль в целой части частного и ставим после него десятичную точку. Затем, не принимая во внимание десятичную точку делимого, присоединяем к его целой части следующую цифру дробной части и опять сравниваем полученную целую часть делимого с делителем. Если новое число опять меньше делителя, ставим ещё один ноль после десятичной точки в частном и присоединяем к целой части делимого следующую цифру его дробной части. Этот процесс повторяем до тех пор, пока полученное делимое не станет больше делителя. После этого деление выполняется, как для целых чисел. Если делимое больше делителя или равно ему, сначала делим его целую часть, записываем результат деления в частном и ставим десятичную точку. После этого деление продолжается, как в случае целых чисел.
2. Деление одной десятичной дроби на другую. Сначала переносим десятичные точки в делимом и делителе на число десятичных знаков в делителе, то есть делаем делитель целым числом. Затем выполняем деление, как в предыдущем случае.
Пример 1. Разделить 1.328 на 64.
 Решение
| Пример 2. Разделить 0,04569 на 0,0006.
Решение
Так как в дробной части делителя 4 цифры, то в делителе и в делимом переносим десятичные запятые на 4 позиции вправо и делим 456.9 на 6: Получаем:
| 
|