 |
|
Степень с натуральным показателем, ее свойства
Определение. Степенью с основанием a и натуральным показателем n называется произведение n множителей, каждый из которых равен а:
(n множителей).
Свойства степеней
1. 
2. 
3. 
| 4. 
5. 
|
Корень натуральной степени, его свойства
Определение. Корнем n-ной степени из данного числа называется число, n-ная степень которого равна данному числу: 
.
Из определения следует, что 
. Это равенство называется основным тождеством радикала (корня).
Замечания:
1. Корень четной степени из отрицательного числа на множестве действительных чисел не определен.
2. Корень четной степени из положительного числа для определенности считается числом положительным и называется арифметическим корнем четной степени.
3. Корень нечетной степени определен для любого числа и имеет такой же знак, как и это число.
Свойства корней
1.  .
2.  .
3.  .
| 4.  .
5.  .
|
Степень с рациональным показателем, ее свойства
Определение. Степенью с основанием а и дробным рациональным показателем 
называется корень n-ной степени из 
: 
, 
.
Свойства степеней
1. 
2. 
3. 
| 4. 
5. 
|
Степень с действительным показателем, ее свойства
Определение. Степенью с положительным основанием а и действительным показателем 
называется общий предел числовых последовательностей 
и 
, при 
, где 
и 
– десятичные приближения числа 
с n цифрами после запятой, взятые соответственно с недостатком и с избытком: 
.
Замечание 1. Любое действительное числоможно представить бесконечной десятичной дроби. Если оно является конечной десятичной дробью, то после последней цифры можно дописать бесконечно много нулей. Например, 
.
Замечание 2. Десятичные приближения данного числа, представленного бесконечной десятичной дробью – это такие рациональные числа и , что для любого натурального числа n выполняются условия 
.
Свойства степеней
1. 
| 6. Если  и  , то 
|
2. 
| 7. Если  и , то  .
|
3. 
| 8. Если  и  , то  .
|
4. 
| 9. Если и  , то  .
|
5. 
| 10. Если  то  .
|