Пример расчёта сжатой колонны на устойчивость в Mathcad

Рассмотрим колонну, защемлённую в основании и незакреплённым верхним сечением, сжатую силой F. Высота колонны м, нагрузка кН, (рис. 2). Требуется: подобрать поперечное сечение в виде двух швеллеров; из условия равноустойчивости найти расстояние «а» между ветвями колонны; вычислить коэффициент фактического запаса устойчивости колонны.

Рис. 2. Колонна, центрально сжатая силой F

Приведём Mathcad-программу, реализующую вычисления по изложенному алгоритму.

4.1. Поскольку поперечное сечение имеет оси симметрии, то эти оси будут главными центральными осями симметрии. Обозначим соответствующую систему координат XOY,(рис. 3).

Рис. 3. Поперечное сечение

На один швеллер приходится = . По сортаменту прокатной стали подбираем швеллер с такой же или чуть большей площадью сечения. Это швеллер № 24; =30.6 см², =9,73 см. Отметим, главная ось швеллера совпадает с главной осью сечения X, поэтому и .

В случае несовпадения главных осей элемента сечения и всего сечения необходимо по известным формулам (см. ИДЗ 1) изменения моментов инерции при параллельном переносе осей или при повороте на некоторый угол вычислить момент инерции элемента сечения относительно главной центральной оси сечения, а затем по соотношению найти радиус инерции всего сечения.

4.7. Начинаем с вычисления требуемой площади:

Значение гибкости попало между табличными значениями 120 и 130. По таблице коэффициентов φ имеем


	0,45	0,40

Применим линейную интерполяцию между узлами и найдём значение , соответствующее вычисленному :

Проверяем условие устойчивости (16), вычислив значения напряжений в левой и правой частях неравенства:

4.11. Определим расстояние «а» из условия равноустойчивости колонны.

Выписываем необходимые геометрические характеристики швеллера №27: см⁴ , см⁴ , z₀=2,47 см, b=9,5 см, t =1,05 см, см.

Условие равноустойчивости колонны имеет вид: . Поскольку ветви колонны соединяются не абсолютно жёсткими планками, рекомендуется брать .

Поскольку собственная главная центральная ось швеллера параллельна главной центральной оси Y всего сечения и расстояние между ними (рис. 3), равно , то момент инерции колонны (т.е. всего сечения) относительно оси Y необходимо вычислять. Условие равноустойчивости в нашем случае примет вид:

Отсюда находим искомое расстояние «а»:

Искомая длина соединительной планки (рис. 3,4):

см.

Из конструктивных соображений принимают ; . То есть для данной колонны

см; =1 см.

4.12. Планки, соединяющие отдельные ветви составной колонны должны быть достаточно жёсткими, чтобы обеспечить совместную работу отдельных ветвей и не допустить потерю устойчивости отдельной ветви. Для обеспечения устойчивости отдельной ветви колонны в плоскости меньшей жёсткости XOZ соединительные планки теоретически необходимо расставить на таком расстоянии , чтобы гибкость участка ветви между планками, согласно СНиП, не превышала 40.

Рис.4. Колонна с соединительными планками

Значит

, см.

Примем см. Тогда колонна будет разбита на 6 участков:

см=7 м.

Расчётную гибкость колонны вычисляют по формулам:

; (18)

, (19)

Для колонны составленной из двух швеллеров (двух двутавров) или четырёх уголков соответственно. В соотношениях (18), (19) принято: - гибкость колонны относительно оси, перпендикулярной плоскости соединительных планок; , - гибкость ветвей относительно собственных центральных осей, перпендикулярных плоскостям планок.