 |
|
Включение в RLC-цепь постоянного напряжения
Переходные процессы в цепи RLC
Если RLC-цепь (рис. 1.24) , не имеющая начального запаса энергии электрического и магнитного полей, подключается к источнику внешнего напряжения в момент времени t = 0, то для t > 0 справедливо уравнение
имеющее решение для тока 
|
Рис. 1.24
Свободная составляющая 
где 
и 
- корни характеристического уравнения
, 
Обозначив 
получим 
и 
- постоянные интегрирования, определяемые начальными условиями в цепи; 
- принужденная составляющая тока, определяемая видом ЭДС e(t) и величинами R, L, C.
Включение в RLC-цепь постоянного напряжения
При подключении источника постоянного напряжения = 0, так как постоянный ток через конденсатор не течет:
Для t = 0 
(т. к. 
).
Таким образом, 
откуда 
следовательно, 
В зависимости от соотношения 
и 
( - резонансная частота) возможны три случая:
а) 
, 
(апериодический процесс).
В плоскости комплексного переменного корни характеристического уравнения лежат на вещественной оси (рис. 1.25). Ток в цепи представляет собой сумму двух экспонент (рис. 1.26) .
Рис. 1.25 Рис. 1.26
Напряжения на элементах:
Рис. 1.27
Графики зависимостей 
от времени приведены на рис. 1.27.
Если в момент коммутации емкость была заряжена до напряжения U, то для t = 0
откуда 
и 
следовательно, 
Рис. 1.28
Кривые зависимостей напряжений на элементах цепи при ненулевых начальных условиях показаны на рис. 1.28 .
б) 
, R = 2r, Q = 0,5 (критический режим).
= - d в этом случае выражение для тока приводит к неопределенности вида 0/0, раскрывая которую по правилу Лопиталя, получим
,
при ненулевых начальных условиях
(действительно, дифференцированием числителя и знаменателя по , получаем
.
Форма кривых зависимостей тока и напряжений на R, L, C от времени аналогична апериодическому режиму, условие Q = 0,5 является предельным условием существования в цепи апериодических процессов.
в) 
, R < 2 r, Q > 0,5, = - d + j 
(колебательный процесс).
Корни характеристического уравнения комплексно-сопряженные (рис. 1.29).
- угловая частота свободных (собственных) колебаний.
Рис. 1.29 Рис. 1.30
При 
.
Таким образом, ток в цепи представляет собой затухающую гармоническую функцию, амплитуда которой экспоненциально уменьшается во времени (рис. 1.30).
Напряжение на элементах цепи:
,
,
,
где 
.
Графики зависимостей от времени приведены на рис. 1.31.
Рис. 1.31
Очевидно, что чем меньше d, тем медленнее затухают колебания в цепи.
Скорость затухания колебаний оценивают величиной 
- декрементом затухания, где 
- период свободных колебаний, а также логарифмическим декрементом затухания 
.
Учитывая, что
,
при высокой добротности 
и 
логарифмический декремент затухания
.
Время практического существования переходного процесса определяется временем затухания экспоненты 
, которое составляет
где 
- постоянная времени контура. За время переходного процесса 
укладывается N периодов свободной составляющей, причем
Таким образом, колебания затухают тем быстрее, чем меньше добротность контура.
Рассмотрим отклик цепи на прямоугольный импульс на входе. Представив прямоугольный импульс в виде разности двух одинаковых скачков напряжений, смещенных во времени на величину длительности импульса, найдем напряжение на элементах R, L, C как алгебраическую сумму откликов на каждый из скачков в отдельности.
Зависимости напряжений на элементах от времени в этом случае приведены для апериодического процесса на рис. 1.32, для колебательного на рис. 1.33.
Рис. 1.32 Рис. 1.33
В общем же случае форма тока в цепи определяется расположением корней характеристического уравнения на комплексной плоскости (рис. 1.34).
Рис. 1.34
Рис. 1.35
На рис. 1.35 показано изменение переходного процесса при изменении сопротивления потерь в контуре (индуктивность и емкость не меняются). Очевидно, что чем меньше сопротивление R, тем выше частота свободных колебаний в контуре и в пределе при стремлении R к нулю частота свободных колебаний стремится к резонансной частоте контура.