 |
|
Включение в цепь RLC гармонического напряжения
Рассмотрим переходные процессы, возникающие в контуре при включении источника гармонического напряжения.
Пусть при t > 0 внешняя ЭДС имеет вид 
тогда принужденный ток
где 
Полное решение для тока
При нулевых начальных условиях 
, 
для t = 0
имеем 
Отсюда
Подставив постоянные интегрирования 
и 
в выражение для полного тока, получим
Кривые зависимости тока от времени представляют собой сумму кривых 
и 
. В зависимости от вида свободных составляющих (расположения корней характеристического уравнения на комплексной плоскости) и частоты внешней ЭДС возможны различные случаи. На рис. 1.36, а, б приведены формы тока в цепи при R > 2r (апериодический процесс), когда период принужденного тока меньше (рис. 1.36, а) и (рис. 1.36, б) больше длительности свободной составляющей тока.
При R < 2r форма переходного тока зависит от соотношения частоты внешней ЭДС и частоты свободных колебаний (на рис. 1.36, в приведена форма тока для 
, на рис. 1.36, г для 
).
Наибольшее применение на практике имеют колебательные контуры с малыми потерями (R<<r). В этом случае
и 
,
, 
а б
в г
Рис. 1.36
Следовательно,
Таким образом, характер переходных процессов в контуре определяется соотношением между резонансной частотой контура, частотой колебаний внешней ЭДС, а также частотой свободных колебаний.
Чаще всего колебательный контур с малыми потерями ( 
) работает на резонансной частоте, совпадающей с частотой внешней ЭДС. Если y = p/2, т. е. напряжение источника ЭДС в момент включения проходит через нуль, то 
, |Z| = R, 
= 0, 
,
Рис. 1.37
Из последнего выражения следует, что амплитуда колебаний в контуре с течением времени растет по экспоненциальному закону, приближаясь к принужденной составляющей 
(рис. 1.37).
Скорость нарастания амплитуды тока определяется производной
где 
Таким образом, скорость нарастания тока тем больше, чем шире полоса пропускания контура, меньше добротность (рис. 1.38).
.
а б
Рис. 1.38
Если же частота внешней ЭДС не совпадает с резонансной частотой контура, то при малых расстройках ( 
)
Если потери в контуре отсутствуют (d =0), то
т.е. в результате сложения двух гармонических колебаний с близкими частотами в контуре
возникают колебания с частотой 
и медленно изменяющейся амплитудой 
, так называемые биения (рис. 1.39).
Очевидно, что период огибающей тем больше, чем ближе частоты внешней ЭДС и резонанса контура.
В реальном контуре наличие потерь приводит к затуханию свободной составляющей тока, поэтому огибающая переходного процесса с течением времени будет стремиться к установившемуся значению 
(рис. 1.40).
Рис. 1.39
Рис. 1.40
Отклик контура на радиоимпульс с прямоугольной огибающей в интервале времени от 0 до 
можно найти как отклик на гармоническую ЭДС, включенную в момент t = 0. Начиная с момента t = , после прекращения действия внешней ЭДС, остается только свободная составляющая тока
где 
определяется значениями напряжения на конденсаторе и тока в контуре в момент времени t = . Таким образом, полный отклик колебательного контура на радиоимпульс на входе имеет вид представленный на рис. 1.41 для случая 
, и (рис. 1.42) для случая 
.
Если частота внешней ЭДС значительно отличается от резонансной частоты контура с малыми потерями, то характер переходных процессов отличается от рассмотренных выше.
Рис. 1.41
Рис. 1.42
Предположим, что 
. В этом случае
, 
,
т. к. 
.
Ранее было получено выражение для тока в контуре
При 
и ток
Проведя несложные преобразования, получим
.
При 
и y = 0 (напряжение источника ЭДС в момент включения проходит через максимум равный 
) получим
.
Если dt << 1, то максимальное значение тока в начальный период превышает амплитуду принужденного тока почти в 
>> 1 раз. Это явление носит название сверхтока. В этом случае напряжение на конденсаторе
.
.
При 
<< 
и 
.
Начальные максимумы 
примерно в два раза больше амплитуды принужденной составляющей (рис. 1.43).
Рис. 1.43
Если же 
>> , то в контуре с малыми потерями | Z | @ L, j @ p/2 и ток в контуре будет
.
При y = p/2, т. е. напряжение в момент включения проходит через нуль, имеем
.
Напряжение на емкости
Отсюда следует, что в начальный период времени, когда dt << 1, максимальное значение тока в контуре примерно в два раза больше принужденной составляющей (аналогично кривым на рис. 1.43). Максимумы напряжения на емкости оказываются много больше амплитуды принужденной составляющей, т. к.
Таким образом, при включении гармонической ЭДС в контуре может появиться напряжение очень большой величины (явление перенапряжения). В результате явлений сверхтока и перенапряжения в цепи возникает опасность электрического пробоя конденсатора или пробоя изоляции катушки.