 |
|
Закон Пуазейля – Хагена
Подставив в (4.13) и (4.17) значения параметров а = в = R, найдем:
; 
. (4.19)
Из (4.16) при а = в = R определим
. (4.20)
Формула (4.20) выражает известный закон Пуазейля – Хагена для установившегося ламинарного движения вязкой несжимаемой жидкости через трубу круглого сечения.
В гидродинамике часто используется коэффициент гидросопротивления:
. (4.21)
Для труб круглого сечения эту формулу часто преобразуют к виду:
, (4.22)
где 
- коэффициент гидросопротивления всего участка трубы; 
- коэффициент гидросопротивления одного калибра трубы; 
- число калибров трубы; d - диаметр трубы.
Используя значение 
в (4.19), преобразуем (4.22) к виду:
, (4.23)
где 
.
Эта формула называется формулой Пуазейля. Она получена теоретическим путем на основании решения системы уравнений Навье-Стокса.
Из (4.22) определим отношение коэффициентов сопротивления труб с эллиптическим и круглым сечениями:
.
Отношение давлений найдем из формул (4.17) и (4.19):
.
Подставив это отношение в предыдущую формулу, получим:
, (4.24)
где 
.
Из этого соотношения видно, что структура формулы для определения коэффициента сопротивления при ламинарном течении существенно зависит от выбора характерного размера трубы некруглого сечения.
Если за характерный размер 
принять эффективный диаметр 
, определяемый по формуле:
, (4.25)
то формула Пуазейля (4.23) останется без изменения:
, (4.26)
где 
.
Очень часто для приближенного определения сопротивления труб некруглого сечения используют понятие гидравлического диаметра:
, (4.27)
где S, П - площадь и смачиваемый периметр сечения трубы.
Для трубы эллиптического сечения получим:
. (4.28)
Если за характерный размер при определении числа Рейнольдса принять гидравлический диаметр (4.28), то формула для нахождения коэффициента гидравлического сопротивления примет вид:
(4.29)
где 
.
Таким образом, при использовании в качестве характерного размера гидравлического диаметра структура формулы для определения коэффициента гидросопротивления уже отличается от структуры формулы Пуазейля (4.23). Величина константы очень сильно зависит от формы поперечного сечения трубы. Поэтому при расчете гидросопротивления трубы с некруглым поперечным сечением и ламинарным течением жидкости нужно внимательно следить за тем, какой размер в трубе принят за характерный. При турбулентном режиме течения жидкости в трубе некруглого сечения структура формулы для определения коэффициента сопротивления остается неизменной при использовании в качестве характерного размера гидравлического диаметра.
Условием равновесия объема жидкости между сечениями S1 , S2 является
,
где 
- среднее по периметру напряжение трения на стенке трубы.
Его величина будет равна
(4.30)