Главная | Обратная связь

Входной сигнал можно записать в виде

0 при t < 0

U_вх(t)=U_m при t > 0.

 

При использовании классического метода необходимо составить ДУ RC-цепи. Согласно второму закону Кирхгофа можно записать:

 

U_вых(t) = U_c(t) + U_вх(t). (4)

При подаче входного сигнала через ёмкость С протекает ток i(t) и напряжение на ёмкости . Умножим и разделим правую часть этого выражения на величину резистора R и подставим полученное значение в выражение (4) получим:

 

.

 

Учитывая, что Ri(t) = U_вых(t), и дифференцируя правую и левую части этого уравнения, получим:

 

.

 

Обозначив RC через t , запишем последнее уравнение в виде:

 

.

 

Подставив в полученное уравнение значение U_вх(t), для выходного напряжения получим:

 

.

 

Следовательно, выходной сигнал для данной RC-цепи при подаче на вход ступеньки напряжения будет изменяться по экспоненте с постоянной времени t (см. рисунок 1б).

Напряжение на ёмкости U_с(t) можно определить из следующего выражения:

 

.

 

Для нахождения выражения U_вых(t) в данном случае можно воспользоваться уравнением (3), которое запишутся в виде:

 

,

 

где — выходное напряжение при t = ∞ (после окончания переходного процесса, т.е. при = 0); U_вых(0) — выходное напряжение при t = 0, (в момент коммутации, когда U_вых(0) = U_m).

Следовательно, выходное напряжение определится как:

 

.

 

При решении этой задачи операторным методом найдем изображение входного сигнала U_вх(р), воспользовавшись прямым преобразованием Лапласа . Операторный коэффициент передачи К(р) для данной RC-цепи определится следующим образом:

 

.

 

Находим изображение оригинала U_вых(t) воспользуемся обратным преобразованием Лапласа или таблицами и получим .

Прохождение через RC-цепь импульса прямоугольной формы. На рисунке 2а изображена RC-цепь, на вход которой подается прямоугольный импульс с амплитудой U_m и длительностью. Входной сигнал можно представить в виде двух разнополярных перепадов напряжения величиной U_m , сдвинутых друг относительно друга на время t_и (рисунок 2б).

 

Рисунок 2 — Прохождение через RC-цепь импульса прямоугольной формы.

 

Для нахождения выходного напряжения операторным способом запишем, используя теорему запаздывания, изображение входного сигнала напряжения:

 

при 0< t < t_и

U_вх(р)= при t > 0.

 

Изображение выходного напряжения находим путем умножения операторного коэффициента усиления K(p) на изображение входного сигнала U_вх(р). После преобразований получим:

 

при 0< t < t_и

U_вых(р)= при t_и > 0,

 

а затем, используя обратное преобразование Лапласа, находим временную функцию U_вых(t):

 

при 0< t < t_и

U_вых(t)= при t_и > 0.

 

Форма выходного импульса зависит от соотношения t_и и τ. На рисунке 3а приведена форма выходного сигнала при τ << t_и , а на рисунке 3б изображен выходной сигнал при τ >> t_и. Из рисунка видно, что в случае, если RC-цепь должна передавать прямоугольный импульс без искажения, то нужно выбирать соотношение τ >> t_и. Для оценки искажений вершины импульса используют относительный спад вершины импульса Δ:

 

.

 

 

Рисунок 3 — Форма выходного сигнала для различных t.

 

Аналогично можно определить форму выходного сигнала для RC-цепи, изображенной на рисунке 4а (интегрирующая RC-цепь). Из рисунка 4б видно, что для передачи импульса с минимальными искажениями фронта необходимо выбирать τ << t_и.

 

 

 

Рисунок 4 — Интегрирующая RC-цепь.

 

Длительность фронта выходного импульса, определяемую для уровней 0,1Um и 0,9 Um, находим из выражения t_ф = 2,2τ (рисунок 5).

 

Рисунок 5 — К определению длительности фронта импульса.

 

Прохождение через RC-цепь линейно-нарастающего напряжения. На рисунке 6 представлена RC-цепь, на вход которой поступает линейно-нарастающее напряжение U_вх(t)=kt, где k=tgα — коэффициент пропорциональности.

 

 

Рисунок 6 — Прохождение линейно-нарастающего напряжения через RC-цепь.

 

Дифференциальное уравнение, описывающее переходный процесс в этой цепи, имеет вид:

 

, откуда .

Для t<<τ функцию можно представить в виде ряда:

 

 

Отбросив малые третьего и выше порядка, получим:

 

.

 

Отсюда видно, что при малых значениях t (t<<τ) выходное напряжение практически совпадает с входным, т.е. U_вых(t) ≈ kt.

Искажение формы выходного сигнала:

 

,

 

где - нижняя граничная частота, определяемая при спаде частотной характеристики, равном 3 дб. Например, для передачи напряжения развертки с длительностью 2 мс и отклонением от линейности не более 0,1% из последнего уравнения находим, что необходимо иметь f_н < 0,16 Гц или RC = τ > 1с.

При t >> τ выходное напряжение стремится к постоянной величине kτ. Напряжение на ёмкости С может быть найдено следующим образом:

 

.

 

Для нахождения формы выходного сигнала при подаче входного сигнала сложной формы последний представляют в виде суммы простейших сигналов и находят реакцию RC-цепи на каждый из них — такой подход называют принципом суперпозиции. Например, на рисунке 7 показано, как можно представить входной сигнал трапецеидальной формы в виде четырех линейно нарастающих напряжений разной полярности, начало которых определяется точками перегиба входного сигнала.

 

Рисунок 7 — Представление напряжения трапециидальной формы в виде четырех линейно-нарастающих сигналов.

 

Резисторные делители с несколькими входами. Пример схемы многовходового делителя приведён на рисунке 8.

 

 

Рисунок 8 — Схема многовходового делителя.

 

В соответствии с методом узловых напряжений:

 

,

 

 

где ; .

 

В частном случае, когда , из формулы следует:

 

,

 

а при :

 

.

 

Из полученных выражений видно, что величина выходного напряжения определяется суммой входных напряжений, взятых с некоторыми весомыми (масштабными) коэффициентами; уровень выходного напряжения зависит не только от уровней входных напряжений , но и от числа слагаемых напряжений, соотношения величин сопротивлений связи и сопротивления нагрузки .

 

Резисторные делители с ёмкостной нагрузкой.Во многих импульсных устройствах резисторный делитель оказывается нагруженным ёмкостью С (рисунок 9); в частности, эта ёмкость может быть входной паразитной ёмкостью нагрузки (усилителя, ключевого каскада и т. п.).

 

 

а. б.

 

Рисунок 9 — Резисторный делитель, нагруженный ёмкостью C.

 

 

При передаче импульса через такой делитель происходит растягивание его фронтов, обусловленное процессами заряда и разряда конденсатора С, и уменьшение его амплитуды, обусловленное наличием делителя ( ). Так, при подаче на вход делителя прямоугольного импульса на выходе получим импульс с фронтами, длительность которых равна:

 

и амплитудой:

 

,

 

где Е — амплитуда входного импульса.

Последние соотношения становятся очевидными, если воспользоваться теоремой об эквивалентном генераторе и преобразовать часть схемы (рисунок 9, а) левее точек p и q к виду, показанному на рисунке 9, б.

Здесь:

 

; .

 

Резисторно-ёмкостные делители.В ряде случаев для передачи перепадов входного напряжения выход резистора шунтируется конденсатором достаточно большой ёмкости; соответствующий резисторно-ёмкостный делитель изображён на рисунке 10, а, иллюстрирующие временные диаграммы — на рисунке 10, б.

а. б.

 

Рисунок 9 — Прохождение прямоугольного импульса через резисторно-ёмкостной делитель.

Пусть на вход такого делителя подан прямоугольный импульс напряжения с амплитудой Е, причём будем считать, что источник входных импульсов — идеальный, лишённый внутреннего сопротивления, и, следовательно, способный развивать бесконечно большую мощность.

В момент коммутации (t = 0) происходит бесконечно большой скачок тока через ёмкости и , и в результате на ёмкостях получаются мгновенные конечные скачки напряжения и .

Действительно, для любого момента времени t ≥ 0:

 

,

 

где и — заряды на конденсаторах и в момент t. При t = 0 = , так как при t = 0 ток проходит только через ёмкости и то:

.

 

Следовательно, при t = 0:

 

,

откуда .

Поэтому:

 

 

; .

 

 

Несмотря на наличие в цепи делителя двух ёмкостей, она является цепью 1-ого порядка, в чём нетрудно убедиться, если преобразовать её в соответствии с теоремой об эквивалентном генераторе и учесть, что внутренне сопротивление входного идеального генератора равно нулю.

Постоянная времени делителя τ = ( ) ( ). При 0 < t < напряжения и стремятся к установившимся уровням:

 

 

; .

 

Законы изменения и имеют вид:

 

,

 

.

 

Заметим, что начальный скачок выходного напряжения тем больше, чем сильнее неравенство ; при , т. е. перепад входного напряжения почти без потерь передаётся через ёмкость на выход. При начальный скачок и при t > 0 после начального скачка будет убывать. При , т. е. , и процесс устанавливается скачком; в последнем случае делитель называется уравновешенным (компенсированным).

По окончании входного импульса в схеме делителя происходит процесс восстановления исходного состояния, т. е. разряд ёмкостей и до начальных (при t > 0) уровней напряжения.

В некоторых устройствах (например, в мультивибраторах) в резисторно-ёмкостном делителе резистор отсутствует; очевидно, что все полученные выше соотношения остаются справедливыми и в этом случае, если в них положить .

На практике используются и резисторно-ёмкостные делители с несколькими входами.

 

РАБОЧЕЕ ЗАДАНИЕ

 

Цель работы: Исследование влияния параметров RC-цепей на искажение формы передаваемых импульсов.

 

1. По заданию преподавателя для одной из представленных на рисунке 10 схем и выбранных величин параметров элементов рассчитать относительный спад вершины и длительности фронта выходного сигнала при подаче на вход однополярного прямоугольного импульса.

2. Для выбранной RC-цепи и параметров ее элементов рассчитать искажение формы выходного сигнала при подаче на вход линейно-нарастающего напряжения (пилообразного импульса).

3. Для выбранной схемы создать модель в Multisim. Экспериментально с помощью виртуального осциллографа определить величины параметров выходных импульсов, приведённых в пунктах 1 и 2, и сравнить их с расчётными величинами. Сохранить в виде графических файлов осциллограммы входных и выходных импульсов для последующего формирования отчёта.

4. В созданной в пункте 3 модели заменить источник входного сигнала на источник сигнала сложной формы. Варианты сложных сигналов приведены на рисунке 11. Форма сигнала задаётся преподавателем. Результаты моделирования привести в отчёте в виде осциллограмм входного и выходного сигнала.

 

 

Рисунок 10 — Схемы исследуемых RC-цепей.

 

 

Рисунок 11 — Входные сигналы различной формы.

КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ

 

1. Сформулируйте основные принципы классического метода анализа переходных процессов в импульсных цепях.

2. Сформулируйте основные принципы операторного метода анализа переходных процессов в импульсных цепях.

3. Сформулируйте основные принципы частотного метода анализа переходных процессов в импульсных цепях.

4. Какие цепи называют линейными?

5. В чем заключается принцип суперпозиции при анализе сигналов сложной формы?