Главная | Обратная связь

Спектральное представление процесса на выходе линейной системы

Рассмотрим стационарный случайный процесс

, (2.2.26)

устанавливающийся на выходе “устой­чивой” линейной системы с весовой функцией при воздей­ствии на нее стандартного белого шума .

Введем спектральную характеристику , связанную с весовой функцией преобразованием Фурье

(2.2.27)

Тогда для стационарного случайного процесса (2.2.26) справедлива

Теорема. Стационарный процесс вида (2.2.26), допу­ская спектральное представление (2.2.15), имеет спектраль­ную плотность

, 2.2.28)

где спектральная характеристика (2.2.27).

Пример. Исследуем поведение линейной системы под воздей­ствием случайных колебаний.

Для этого рассмотрим уравнение движения маятника при наличии трения с большим периодом собствен­ных колебаний

,

и решением .

Спектральная характеристика такой системы:

.

Предположим, что эта система находится на корабле и частота собственных колебаний маятника много меньше ча­стоты качки корабля: . Тогда в процессе качки на маятник через малые промежутки времени воздействуют случайные толчки. Если считать такое возмущение “белым шумом”, то установившееся движение маятника будет описываться стационарным процессом со спектральной плотностью вида .

Рис. 2.2.1. Общий вид спектральной плотности

Функция спектральной плотности, представленная на рис. 2.2.1, записывается в виде

,

и весьма быстро убывает при удалении от точки максимума на частоте , сильно зависящей от величины коэффициента трения .

В целом, в процессе преобладают колебания с частотами, близкими к собственной ча­стоте “маятниковой” системы.

Для сравнения отметим, что если считать воздей­ствие от качки корабля гармоническим колебанием частоты , то маятник при установившемся движении будет совершать колебания с этой частотой , что качественно отличается от полученного выше результата.