Главная | Обратная связь

Примеры решения задач

 

Задача 1. Протон, ускоренный разностью потенциалов Dj = 100 В, влетает в плоский воздушный конденсатор параллельно его пластинам. Длина пластин конденсатора L = 0,2 м, расстояние между ними d = 0,05 м. Найти: 1) смещение при вылете из конденсатора относительно первоначального направления Dy; 2) скорость протона при вылете u. Напряжение на конденсаторе U = 20 В. Масса протона m = 1,67×10^{-27 кг, заряд протона} Q = 1,6×10^-19 Кл.

Решение.

Рассмотрим движение протона до влета в конденсатор. По теореме о кинетической энергии работа сил электростатического поля:

,

где u_н, u₀ - начальная и конечная скорости протона в ускоряющем электрическом поле (по условию задачи u_н = 0).

С другой стороны, она равна

А_эл = Q×Dj,

где Dj = ускоряющая разность потенциалов.

Тогда . Следовательно, начальная скорость протона при влете в конденсатор

.

Внутри конденсатора на протон действует сила электрического поля .

Электрическое поле заряженного конденсатора однородное, поэтому напряженность поля равна E=U/d.

Выберем систему координат хоy, как показано на рисунке 1-а. По второму закону Ньютона

или .

В проекции на ось оy: QE = ma, т.е. ускорение протона равно а = QЕ/m = QU/(md).

Координаты протона в момент времени t равны:

x = u₀t – смещение вдоль оси ox;

y = at²/2 - смещение вдоль оси оy.

По истечении времени пролета протоном конденсатора x = L, y =Dy. Время движения в конденсаторе равно

Смешение при вылете .

Dy = 20×0,2²/(4×0,05×100) = 0,04 м.

Скорость протона в момент вылета ,

где u_х = u₀, . Следовательно,

.

u = = 1,4×10⁵ м/с.

Ответ: Dy = 0,04 м, u = 1,4×10⁵ м/с.

 

Задача 2. Из состояния покоя электрон движется по направлению к центру равномерно заряженного шара радиусом R = 0,1 м, с зарядом Q = 2 НКл. Начальное расстояние электрона до поверхности шара h = 2,9 м. Найти скорость электрона, с которой он приблизится к поверхности шара. Удельный заряд электрона ½Q₁/m½ = 1,76×10¹¹ Кл/кг.

Решение.

По закону сохранения энергии

W_n1 = W_n2 + W_к ,

где , - начальная и конечная потенциальные энергии электорона в электричесом поле заряда Q; W_k = mu²/2 – кинетическая энергия электрона у поверхности шара, Q₁ = -1,6×10^-19 Кл –заряд электрона, m = 9,1×10^{-31 кг – масса электрона.}

Найдем скорость электрона у поверхности шара

.

u = = 7,6×10⁶ м/с.

Ответ: u = 7,6×10⁶ м/с.

 

Задача 3. Протон движется в однородном магнитном поле с индукцией В = 0,2 Тл. Траектория его движения - винтовая линия с радиусом R = 0,1 м и шагом h = 0,5 м. Найти скорость протона. Заряд протона Q = 1,6×10^-19 Кл, масса протона m = 1,67×10^{-27 кг.}

Решение.

Сложное движение протона по винтовой линии можно представить как сумму двух движений: поступательное движение вдоль силовой линии и движение по окружности. Вектор скорости разложим на две составляющие: параллельную и перпендикулярную вектору магнитной индукции:

,

где u₁₁ = соsa, u_^ = sina. Модуль вектора скорости .

На заряженную частицу (в данном случае протон) в магнитном поле действует сила Лоренца F_лор = Q×u×B×sina.

По второму закону Ньютона

.

Сила Лоренца перпендикулярна вектору скорости и направлена к центру окружности, которую описывает протон в магнитном поле.

, т.е .

Следовательно, .

Шаг винтовой траектории h = u₁₁×T,

где - период вращения протона. Учитывая, что радиус траектории , найдем параллельную составляющую скорости

.

Скорость протона равна

.

м/с.

Ответ: u = 2,4×10⁶ м/с.

Задача 4. В области пространства созданы электрическое поле с напряженностью Е = 10⁴ В/м и магнитное поле с индукцией В = 0,4 Тл. Векторы напряженности электрического поля и индукция магнитного поля взаимно перпендикулярны. В каком направлении и с какой скоростью должна двигаться a-частица, чтобы ее движение было равномерным и прямолинейным.

Решение.

На a-частицу в электрическом поле действует сила , ( независимо от направления движения a-частицы). В магнитном поле на a-частицу действует сила Лоренца , ( , ). Для равномерного и прямолинейного движения a-частицы необходимо выполнение условия: . Это условие выполняется, если силы противоположно направлены и равны по модулю: QE = QuBsina. Магнитная сила будет направлена противоположно электрической (по рисунку вниз), если частица движется перпендикулярно силовым линиям магнитного поля, т.е a = 90⁰, sina = 1.

Скорость a-частицы

u = E/B.

u = 10⁴/0,4 = 2,5×10³ м/с.

Ответ: u =2,5×10³ м/с.