 |
|
Математическое описание одномерных сигналов
Одномерные сигналы, как указывалось ранее, представляются функциями одного аргумента, например: 
. Для представления одномерных сигналов в частной области удобно разделить их на три вида: гармонические, периодические и непериодические.
а) Гармонический сигнал 
традиционно записывается в следующем виде:
, (2.13)
где 
- амплитуда гармонического сигнала;
- частота гармонического сигнала;
φ - фаза;
и представляет собой простейший вид одномерных сигналов.
Выражение (2.13) представляет собой тригонометрический вид представления, который может иметь и иную запись, соответствующую разложению по базисным функциям:
, (2.14)
где 
,
.
Справедливость этого соотношения легко проиллюстрирует рис.2.1
 |
Спектр гармонического сигнала состоит только из одной частоты .
Под спектром сигнала понимается совокупность гармонических сигналов с заданными частотами, амплитудами и фазами, сумма которых даст исходный сигнал.
Наряду с тригонометрической формой представления гармонического сигнала широко используетсся комплексная форма представления. Идея перехода от тригонометрической формы представления к комплексной заключается в следующем. Гармонический сигнал можно представить как проекцию радиуса единичной окружности в комплексной области на действительную ось (рис.2.2). Поэтому имеет место следующее соотношение
 |
. (2.15)
Еще одну форму комплексного представления гармонического сигнала можно получить исходя из формул Эйлера:
В этом случае получаем следующее соотношение
. (2.16)
Первой из этих форм соответствует векторное представление, изображенное на рис.2.3а.
 |
Действительная функция 
получается в первом случае как проекция OB вектора на горизонтальную ось, а во втором –как сумма проекций OB на ту же ось двух векторов с амплитудами 
, вращающимися с угловой частотой во взаимнопротивоположных направлениях.
В соответствии с этим второе слагаемое в правой части выражения (2.16) можно трактировать как колебание с «отрицательной» частотой, что приводит к следующей записи:
. (2.17)
Нетрудно видеть, что в данном случае «отрицательные» частоты имеют формальный характер и связаны с применением комплексной формы для представления действительной функции времени. Хотя, если рассматривать частоту как скорость изменения фазы гармонического сигнала 
, то отрицательные частоты приобретают физический смысл и они равноправны с положительным.
Графически амплитудный спектр гармонического сигнала (рис.2.4а), может быть представлен как в виде, показанном на рис.2.4б, так и в виде, показанном на рис.2.4в.
 |
Пусть - периодическая функция, заданная на интервале 
и удовлетворяющая условию Дирихле (то есть – непрерывна на этом интервале или имеет конечное число точек разрыва первого рода). Таким образом,
,
где 
- период функции .
В этом случае сигнал может быть представлен в виде ряда Фурье, то есть может рассматриваться как сумма гармонических колебаний с угловыми частотами 
(представлен в тригонометрической форме):
, 
, (2.18)
;
причем называется основной частотой, а 
- соответствующими гармониками или обертонами.
Разложение производится по следующей формуле (тригонометрическая форма):
, (2.19)
где 
; (2.20)
- постоянная составляющая; (2.21)
; (2.22)
. (2.23)
Ряд Фурье может быть записан и в комплексной форме:
, (2.24)
, (2.25)
где 
; (2.26)
.
Следует еще раз подчеркнуть, что полученные тригонометрический и экспоненциальные разложения в ряд Фурье не являются двумя различными типами рядов, а выражают одно разложение двумя различными способами. Как видно из выше приведенных выражений, коэффициенты одного разложения можно выразить через коэффициенты другого:
(2.27)
Амплитуды 
и 
являются взаимосопряженными комплексными величинами и отвечают условию
. (2.28)
При тригонометрическом виде представления функцию 
называют односторонним (не имеющим отрицательных частот) спектром амплитуд, а функцию 
- называют спектром фаз (односторонним).
В случае экспоненциального вида представления ряда Фурье функцию 
принято называть комплексным спектром периодического сигнала, если эту функцию (2.14) представить в виде
; 
, (2.29)
то функции 
и 
называют соответственно спектром амплитуд и спектром фаз.
Таким образом, если известны спектры амплитуд и спектры фаз сигнала , то в соответствии с (2.19) и (2.24), он может быть однозначно восстановлен.
Как легко заметить из приведенных соотношений, спектры периодических сигналов определены только в дискретных точках 
, поэтому спектры периодических сигналов называют линейчатыми или дискретными. Такие спектры принято изображать графически в виде вертикальных линий на частотах 
, причем высота каждой линии пропорциональна амплитуде или фазе соответствующей гармоники, что дает наглядное представление о «ширине спектра» и относительной величине отдельных ее составляющих.
На рис.2.5а показаны примеры амплитуды и фазы одностороннего частотного спектра периодического сигнала, представленного в комплексной форме.
 |
Таким образом, две характеристики: амплитудная и фазовая каждой гармоники определяют частотный спектр периодического сигнала и однозначно его описывают.
Как видно из рис.2.5б двухсторонние спектры периодических сигналов обладают интересной особенностью: спектры амплитуд симметричны относительно оси 
, а спектры фаз симметричны относительно начала координат. Это легко доказать для общего случая. Действительно, исходя из выражений 2.14, 2.15, 2.16 
и 
являются комплексно-сопряженными величинами, следовательно 
то есть 
- четная функция n и график функции 
- симметричен относительно оси 
.
Если - действительная величина, то 
- так же действительная величина и 
, а если - комплексная величина, то
и 
.
Следовательно 
- нечетная функция n и ее график симметричен относительно начала координат.