 |
|
Распределение энергии в спектре периодического сигнала
Положим, что сигнал 
представляет собой периодическую функцию параметра t с периодом T. Средней за период мощностью сигнала назовем величину
, (2.30)
аналогично тому, как определяется в физике мощность на активном сопротивлении величиной 1 Ом. Представим сигнал в виде ряда Фурье в тригонометрической форме, тогда выражение (2.30) предстанет в виде:
. (2.31)
При возведении в квадрат правой части выражения (2.31) появятся слагаемые следующих видов:
1. 
;
2. 
и 
;
3. произведения синусов и косинусов с аргументами различной кратности.
Постоянная составляющая 
после интегрирования даст 
.
Слагаемые второго вида после приведения к форме:
и 
и интегрирования в пределах 
дают
и 
.
Последний вид слагаемых при интегрировании за период Т обращаются в нуль, как ортогональные функции.
Таким образом, средняя мощность сигнала за период Т выразится следующим соотношением:
, (2.32)
где 
- постоянная составляющая;
- амплитуда n-й гармоники сигнала.
При использовании ряда Фурье в комплексной форме и с учетом (2.28) получим:
. (2.33)
Итак, средняя мощность сигнала за период T равна сумме средних мощностей постоянной составляющей и гармоник. С энергетической точки зрения отдельные спектральные составляющие сложного периодического сигнала аддитивны, что является результатом ортогональности гармонических функций с кратными частотами.
Важно отметить, что мощность сигнала не зависит от величин фаз отдельных гармоник. Таким образом, изменение формы сигнала из-за изменений фазовых соотношений между отдельными гармониками, входящими в спектр сигнала, не влияет на среднюю мощность сигнала.
По виду функции 
можно делать выводы о распределенной мощности в спектре периодического сигнала и, следовательно, определять полосу пропускания, обеспечивающую достаточно полное использование мощности сигнала.