Главная | Обратная связь

Преобразование Фурье.

 

Любой физически реализуемый сигнал является ограниченным по частоте, по времени и обладает конечной энергией. Ограничение по частоте и энергии следует из инерционности и ограничения мощности реально реализуемых источников сигналов и если сигнал обладает конечной энергией, то он должен быть ограничен и во времени.

С математической точки зрения это означает, что функции , отображающие реальные сигналы, удовлетворяют условиям Дирихле и требованию абсолютной сходимости интеграла от модуля функции , то есть

(2.34)

где М - конечная величина.

Очевидно, что непериодический сигнал можно рассматривать как периодический с периодом (Т), стремящимся к бесконечности. Количество гармонических составляющих, входящих в ряд Фурье, будет при этом бесконечно возрастать, так как при основная частота

(2.35)

будет стремиться к нулю, а их амплитуды также будут стремиться к нулю.

Следовательно, расстояние между спектральными линиями, равное основной частоте , становится бесконечно малым, а спектр - непрерывным (сплошным).

Таким образом, выражения для спектрального представления непериодического сигнала можно получить предельным переходом (при ) спектра периодического сигнала, выраженного рядом Фурье.

Прямое и обратное преобразование Фурье для периодической функции запишем в форме, аналогичной (2.24):

(2.36)

Периодический сигнал преобразуется в непериодический сигнал путем предельного перехода при . При этом основная частота уменьшается до , превращается в текущую частоту , а операция суммирования заменяется операцией интегрирования. Таким образом, ряд Фурье преобразуется в интеграл Фурье:

. (2.37)

Внутренний интеграл, являющийся функцией ,

(2.38)

называется прямым преобразованием Фурье, а результат этого преобразования называется комплексной спектральной плотностью или спектральной характеристикой функции . Внешний интеграл, являющейся функцией t,

, (2.39)

называется обратным преобразованием Фурье. Эти соотношения безусловно справедливы только для абсолютно интегрируемой функции . Как видно из выражения (2.38), на каждой конкретной частоте значение соответствующей спектральной плотности, а следовательно, и амплитуды равно нулю. Из сравнения выражения (2.39) с рядом Фурье (2.24) видно, что бесконечно малому интервалу частоты соответствует составляющая с бесконечно малой комплексной амплитудой , то есть

. (2.40)

Сравнение выражений (2.38) и (2.25) позволяет пояснить физический смысл понятия «спектральная плотность». Для этого выделив какую-либо дискретную частоту , соответствующую в случае периодической функции n-й гармонике, найдем амплитуду этой гармоники:

. (2.41)

Для непериодической функции, совпадающей с периодической на интервале ее спектральная плотность, соответствующая той же частоте , определяется выражением :

, (2.42)

где T - конечно.

Так как интегралы в правых частях выражений (2.41) и (2.42) полностью совпадают, то

. (2.43)

Учитывая, что

,

где - циклическая частота, соответствующая круговой частоте , получим:

. (2.44)

Множитель знаменателя 2 в правой части этого выражения учитывает то, что при использовании экспоненциальной формы ряда Фурье, в которой фигурируют отрицательные частоты, амплитуды гармоник равны половине амплитуд получаемых при одностороннем разложении.

Таким образом, значение спектральной плотности на частоте равно отношению половины амплитуды гармоники к основной частоте периодического сигнала, выраженной в герцах, которая равна полосе частот, отделяющей соседние линии дискретного спектра. Таким образом, физическая суть спектральной плотности – это плотность амплитуд и ее размерность . Из анализа соотношения (2.44) вытекает важное положение: непрерывный спектр (модуль спектральной плотности) непериодической функции и огибающая линейчатого спектра периодической функции совпадают по форме и отличаются только масштабом:

.

Из выражения (2.38) с учетом формулы Эйлера можно получить выражение для спектральной плотности а, следовательно, и прямое преобразование Фурье, в тригонометрической форме:

. (2.45)

Спектральная плотность величина комплексная, поэтому для нее справедливо следующее представление

, (2.46)

где - действительная часть ;

- мнимая часть ;

- модуль или спектр непериодического сигнала;

- фаза .

Так как - четная функция частоты, а - нечетная относительно частоты , то, как и в случае ряда Фурье, модуль спектральной плотности - есть функция четная, а фаза - нечетная относительно частоты.

Обратное преобразование Фурье так же легко привести к тригонометрической форме. Действительно в соответствии с (2.30) и учетом (2.43) имеем:

(2.47)

Второе слагаемое из-за нечетности подинтегрального выражения равно нулю, следовательно:

. (2.48)

Преимуществом тригонометрической формы записи преобразования Фурье является его более простое и удобное физическое толкование.