Главная | Обратная связь

Основные свойства преобразования Фурье

 

1.Свойство линейности.

Если - спектральная плотность сигнала , а - сигнала , то при любых произвольных постоянных и спектральная плотность сигнала

будет равна

(2.49)

что следует из линейности операции интегрирования.

2.Свойство симметрии.

Если сигнал имеет спектральную плотность , то спектральная плотность сигнала будет .

Действительно, как следует из (2.39) при

. (2.50)

Приведем в этом равенстве последовательно ряд замен переменных:

;

;

.

Следовательно, спектральная плотность сигнала равна 2 . Если - четная функция, то и спектральная плотность сигнала равна .

3. Свойство изменения масштаба.

Если сигнал имеет спектральную плотность , то при изменении масштаба исходного сигнала, то есть для сигнала ( -любая действительная постоянная) спектральная плотность равна

.

Действительно:

.

Произведем замену переменных , тогда

а) при

; (2.51)

б) при

. (2.52)

Следовательно, спектральная плотность сигнала равна .

4. Свойство частотного сдвига. Если спектральная плотность сигнала , то сигналу соответствует спектральная плотность , то есть умножение сигнала на сдвигает весь спектр на частоту .

Для доказательства этого свойства применим обратное преобразование Фурье к спектру и произведем замену переменных , тогда

. (2.53)

Таким образом, сигналу соответствует спектральная плотность .

5. Свойство временного сдвига.

Если есть спектральная плотность сигнала , то сигналу соответствует спектральная плотность . Для доказательства этого свойства применим прямое преобразование Фурье к сигналу и сделаем в нем замену переменных , тогда

. (2.54)

Таким образом, сигналу соответствует спектральная плотность . Другими словами, при сдвиге сигнала на , его амплитудный спектр не меняется, а изменяется только фазовый спектр на величину - .

6. Если сигнал имеет спектральную плотность , а сигнал , то

(2.55)

где – комплексно сопряженная с функция.

7. Если сигнал со спектральной плотностью проходит через некоторое звено с предаточной функцией , то спектральная плотность выходного сигнала равна

. (2.56)