Главная | Обратная связь

Распределение энергии в спектре непериодического сигнала

Если задан непериодический сигнал , физическим представлением которого может быть электрическое напряжение на активном сопротивлении в 1 Ом, то можно найти количество энергии, выделяемое на этом сопротивлении за время действия сигнала:

. (2.57)

Понятие энергии сигнала имеет смысл только в том случае, если интеграл (2.57) конечен.

Сигналы с конечной энергией называют энергетическими. Если сигналу соответствует спектральная плотность , то используя обратное преобразование Фурье и, меняя порядок интегрирования, можно записать:

(2.58)

Для действительной функции

,

где - комплексно-сопряженна функция, и поэтому

,

причем, как указывалось ранее (§2.4), - четная функция.

Таким образом,

. (2.59)

- называют спектром плотности энергии или спектральной плотностью энергии сигнала, физический смысл которого - энергия, приходящаяся на единицу полосы частот при текущей частоте ω (размерность: ). Соотношение (2.59), известное как равенство Парсеваля, показывает, что энергию, выделяемую непериодическим сигналом за время его действия, можно найти, интегрируя квадрат модуля его спектральной характеристики во всем интервале частот.

В отличие от формулы (2.33) формула (2.59) определяет не среднюю мощность, которая для любого непериодического абсолютно интегрируемого сигнала равна 0 (так как ), а полную энергию, выделяемую сигналом за все время его действия.

Спектральная плотность энергии, характеризующая распределение энергии по спектру сигнала, существует лишь для энергетически ограниченных сигналов (для которых выражение (2.57) конечно), к которым применимо преобразование Фурье. Если же значение интеграла (2.57) бесконечно, то понятие энергии сигнала теряет смысл. В этом случае рассматривают среднюю мощность сигнала. Сигналы с ограниченной мощностью называют мощностными.

Определим среднюю мощность непериодического сигнала как среднюю мощность W, рассеиваемую на активном сопротивлении величиной 1 Ом в течение времени (Т) действия сигнала, тогда:

. (2.60)

Непериодический сигнал представим конечным по времени сигналом :

(2.61)

При конечном Т сигнал имеет конечную энергию, и тогда, в соответствии (2.59), энергия сигнала определится из выражения:

, (2.62)

где - спектральная плотность сигнала . Следовательно,

. (2.63)

Если предел под знаком интеграла существует, то эта функция называется спектральной плотностью мощности , то есть

. (2.64)

Можно доказать, что и среднюю мощность сигнала W, с учетом четности функции , можно представить в виде:

. (2.65)