 |
|
Эргодическое свойство стационарных случайных функций
На практике часто встречаются случаи, когда возможно получение лишь одной реализации случайной функции. Например, реализация случайной функции (распределение яркости, рельеф поверхности или измерение температуры) получена при облете автоматической межпланетной станцией какой-нибудь планеты.
Очевидно, что в общем случае, пользуясь только одной реализацией невозможно получить представление о характеристиках случайной функции. Но для некоторых случайных функций даже одна реализация, полученная на достаточно большом участк.е наблюдения, позволяет правильно определить характеристики этой функции. Про такую функцию говорят, что она обладает эргодическим свойством, то есть для этой функции осреднение по ансамблю реализаций равносильно осреднению по аргументу, что позволяет существенно упростить процедуру определения ее статистических характеристик.
Свойством эргодичности могут обладать только стационарные случайные функции. Для стационарной случайной функции, обладающей эргодическим свойством, статистические характеристики могут быть найдены осреднением по аргументу конкретной реализации 
случайной функции 
(для случайных процессов как среднее по времени):
; (2.125)
; (2.126)
. (2.127)
Таким образом, если известно, что случайную функцию можно рассматривать стационарной и обладающей эргодическим свойством, то как процесс получения экспериментальных данных, так и процесс вычисления корреляционной функции существенно упрощается. Возможность или невозможность такого рассмотрения обычно удается понять при исследовании существа решаемой задачи.
Пусть, например, исследуются колебания самолета, связанные с турбулентностью атмосферы. Если полеты самолета осуществляются на разной высоте, то при этом меняется плотность атмосферы, поэтому должен изменяться и характер колебаний самолета, то есть нет оснований считать исследуемый процесс обладающим эргодическим свойством.
Если во время этих же полетов осуществляется сканирование местности, то, так как с увеличением высоты полета уменьшается дисперсия получаемых при сканировании реализаций, измеряемую случайную функцию нельзя считать стационарной и, как следствие этого ее нельзя считать обладающей эргодическим свойством.
Поскольку предположение о наличии эргодического свойства у стационарной случайной функции обычно приводит к существенному упрощению проводимых исследований, его обычно принимают во всех тех случаях, когда нет особых оснований считать, что оно не выполняется.