Главная | Обратная связь

Дискретное преобразование Фурье

 

Как известно, при цифровой обработке сигнала непрерывные сигналы представляются в дискретной форме: в виде закодированных отдельных отсчетов. Рассмотренные выше методы частотного анализа использовались лишь для непрерывных сигналов, однако и при цифровой обработке широко используется частное представление сигналов, то есть перевод их из временной или пространственной области в область частот. Для этого применяется дискретное преобразование Фурье (ДПФ), во многом аналогичное преобразованию Фурье, используемому для частотного анализа непрерывных сигналов.

Дискретное преобразование Фурье (ДПФ) определяет линейчатый спектр дискретизированной периодической функции времени или координаты. Обратное дискретное преобразование Фурье позволяет восстановить функцию времени по ее спектру. ДПФ служит для анализа периодических функций и алгоритм этого преобразования можно получить исходя из рядов Фурье.

Пусть непрерывная периодическая функция с периодом T и частотой так что

, (2.199)

где m - целое число.

Тогда функцию можно разложить в ряд Фурье:

, , (2.200)

где коэффициенты разложения определяются из соотношения

. (2.201)

- комплексная величина и из нее можно определить амплитуду и фазу гармоник.

Из теории квантования известно, что однозначная дискретизация функции возможна лишь тогда, когда ее спектр ограничен, то есть

, при , (2.202)

где - значение n, задающее частоту :

. (2.203)

В соответствии с теоремой Котельникова интервал дискретизации (расстояние между отсчетами) равен

, (2.204)

так что число отсчетов на период T будет N:

. (2.205)

В результате дискретизации получим периодическую функцию, которую нормализуем относительно :

. (2.206)

Эта функция определена на интервале

или .

Применим к этой функции преобразование Фурье, тогда

(2.207)

так как , а .

Поменяем знак суммы и интеграл местами и с учетом того, что

(2.208)

получим

. (2.209)

где - общее число отсчетов;

- отдельные отсчеты ;

- номер гармоники.

Обратное дискретное преобразование Фурье, соответственно, имеет вид:

. (2.210)

Тот факт, что спектр является периодическим, вытекает из периодичности любой дискретизированной функции, а дискретный характер спектра связан с тем, что сама дискретизируемая функция периодична. Выборки непрерывной функции и ее спектр после дискретизации представлены на рис.2.21.

 

 

Спектр, получаемый в результате ДПФ можно интерпретировать следующим образом. Первые точек соответствуют спектральным линиям спектра непрерывной функции на положительных частотах, как показано на рис.2.21в,г, а последние точек соответствуют спектральным линиям на отрицательных частотах.

Вычисление дискретного преобразования Фурье производится по алгоритму

, (2.211)

где .

Нетрудно получить схему вычислений, позволяющую найти значений (дискретного спектра) по значениям отсчетов .

Пример такого алгоритма представлен на рис.2.22.

 

 

Представленный алгоритм очевиден, но он не оптимален, так как требует много вычислений.

Алгоритмы ДПФ, позволяющие достигнуть сокращения вычислительной нагрузки, известны под общим названием «быстрое преобразование Фурье». Следует подчеркнуть, что это не новое преобразование, а всего лишь способ выполнения ДПФ.