Политропный процесс
Выведем уравнение политропного процесса. Для этого введем понятие о политропной теплоемкости - с. Тогда dq = cdT. С учетом этого запишем уравнения первого закона термодинамики (2.24) и (2.16) сdТ = cpdT -udp, сdТ = cudT + pdu , откуда . Обозначим - показатель политропы. Тогда последнее уравнение запишется: npdu = - udp. (а) Разделив уравнение (а) на pu, запишем Проинтегрировав это уравнение, получим n ln u + ln p = const или ln pun = const. Откуда получим уравнение политропы pun = const. (4.28) Политропным называется такой процесс изменения состояния рабочего тела, в котором показатель политропы n остается постоянным на протяжении всего процесса. Формулы соотношения параметров газа в политропном процессе, которые являются следствием уравнений pun = const и pu = RT, очевидно, будут иметь тот же вид, что и выведенные выше в адиабатном процессе, но только в них показатель адиабаты к нужно заменить показателем политропы n: ; и . Изменение внутренней энергии Du и энтальпии Dh в политропном процессе, как и в любом термодинамическом процессе, найдется по уравнениям Du = u2 - u1 = cu(T2 - T1) и Dh = h1 - h2 = cp(T2 - T1). Формулы для работы изменения объема могут быть найдены по уравнению , куда подставляют р = р1u1n/vn, где p и u - текущие значения параметров. В результате интегрирования получим . (4.29) Выражение (4.29), аналогичное адиабатному процессу, можно представить как , (4.30) и . (4.31) Формула для технической работы согласно уравнению (а) l¢ = nl, т.е. . (4.32) Теплоемкость газа в политропном процессе можно найти из равенства . (4.33) Теплоемкость газа в политропном процессе в зависимости от значения показателя политропы n может быть положительной, отрицательной, равной нулю или бесконечности. Количество тепла, участвующего в процессе: . (4.34) Политропный процесс является обобщающим для всех ранее рассмотренных процессов. В этом нетрудно убедиться, подставляя в выражение 1) для изохорного процесса с = сu; . Уравнение pun = const представим в виде , тогда . Следовательно, при n = ±¥ уравнение политропы обратилось в уравнение изохоры; 2) для изобарного процесса с = ср; ;; 3) для изотермического процесса . Следовательно, n - 1 = 0; n=1 и pun = pu = const; 4) для адиабатного процесса с=0; ; pun = puк = const. Если в координатах p, u выбрать произвольную точку А (рис. 4.9) и провести из т.А все рассмотренные выше процессы, а также сколько угодно других процессов, в которых показатель политропы меняется от +¥ до - ¥, то можно по графику процесса сказать о знаках работы, теплоты и изменения внутренней энергии, а также о знаке показателя n (как это показано на Изменение энтропии в политропном процессе или в интегральной форме . (4.35) Представим основные процессы как частные случаи политропного процесса в координатах T, s (рис. 4.10). Области положительной и отрицательной работы, теплоты и изменения внутренней энергии показаны на рисунке. Показатель политропы n может быть определен, если известны параметры двух точек процесса. , отсюда . Тогдаили . В литературе также приводятся чисто графические способы определения показателя политропы.
5. Равновесие термодинамических систем
Если термодинамическая система находится в некотором неравновесном состоянии, то в ней возникают самопроизвольные необратимые процессы. По мере протекания этих процессов степень неравновесности системы будет уменьшаться и, наконец, совершенно исчезнет и система придет в состояние равновесия. Необратимые процессы в системе, сопровождавшиеся ростом энтропии, прекратятся. Очевидно, что в состоянии равновесия система будет обладать максимальным значением энтропии. Тогда условие равновесия термодинамической системы аналитически будет выражаться условием максимума ее энтропии, т.е. соотношениями s = smax; ds = 0. Таким образом, энтропия является наиболее общей функцией, с помощью которой можно определить направление процессов и условия равновесия. В ряде случаев условия равновесия систем могут выражаться не только через изменение энтропии, но и через изменение некоторых других термодинамических функций состояния. Это, например, относится к изохорно-изотермическим и изобарно-изотермическим системам, в которых постоянными являются u и Т или р и Т. Равновесие изохорно-изотермических систем. Свободная энергия. Согласно уравнениям (3.13) и (3.16) совместное уравнение первого и второго законов термодинамики принимают вид Tds ³ du +pdu. (5.1) Откуда du - Tds £ - pdu. (5.2) Из левой и правой части уравнения (5.2) вычтем sdT: du - Tds - sdT £ - pdu - sdT или du - d(Ts) £ - pdu - sdT, откуда d(u -Ts) £ - pdu - sdT. (5.3) Обозначим F = u - Ts. (5.4) Функция F = u - Ts является некоторой функцией состояния рабочего тела. Ее называют свободной энергией или изохорно-изотермическим потенциалом. Из уравнения (5.3) следует dF £ - pdu - sdT (5.5) или dF + pdu + sdT £ 0, (5.6) где знак равенства относится к обратимым процессам, а знак неравенства - к необратимым. Для изохорно-изотермических процессов du = 0 и dT = 0. Тогда получим dF £ 0. (5.7) Последнее уравнение означает, что свободная энергия изолированной системы при протекании в ней обратимых изохорно-изотермических процессов не изменяется, а при протекании необратимых процессов - уменьшается. Следовательно, в изолированной системе при T = const и u = const самопроизвольно могут протекать только те процессы, которые идут с уменьшением F. Причем пределом их протекания, т.е. условием равновесия системы, является достижение минимального значения функции F, т.е. F = Fmin или dF = 0. Физический смысл свободной энергии может быть выяснен из рассмотрения обратимого изотермического процесса. В этом случае dT =0 и из уравнения (5.6) следует, что: dF = - pduили dF = -dl. (5.8) Таким образом, изменение свободной энергии равно работе изменения объема, которая производится над телом. Из выражения (5.4) запишем u = F + Ts. (5.9) Величину Ts называют связанной энергией, ибо, как это видно из (5.8), при изотермическом процессе вся работа совершается только за счет изменения свободной энергии системы F, а вторая часть внутренней энергии, равная Ts, не преобразуется в работу. Равновесие изобарно-изотермических систем. Изобарно-изотермический потенциал. Совместное уравнение первого и второго законов термодинамики можно записать или Tds ³ dh - udp, откуда dh - Tds £ udp. (5.10) Из левой и правой части уравнения (5.10) вычтем sdT: dh - Tds - sdT £ udp - sdT, dh - d(Ts) £ udp - sdT, d(h - Ts) £ udp - sdT. (5.11) Величина h - Ts является некоторой функцией состояния рабочего тела, обозначается Ф и называется изобарно-изотермическим потенциалом (или потенциалом Гибса). Ф = h - Ts. (5.12) Тогда уравнение (5.11) перепишется в таком виде: dФ £ udp - sdT (5.13) или dФ - udp + sdT £ 0, (5.14) где знак равенство - для обратимых процессов, знак неравенство - для необратимых процессов. Для изобарно-изотермических процессов при dp = 0 и dT = 0 получим dФ £ 0. (5.15) Следовательно, в изолированной системе при T = const и p = const самопроизвольно могут протекать только те процессы, которые идут с уменьшением Ф, причем пределом их протекания, т.е. условием равновесия системы, является достижение минимального значения функции Ф, т.е. Ф = Фmin или dФ = 0. В изобарно-изотермической системе (по аналогии с изохорно-изотермической системой) можно записать из уравнения (5.12) h = Ф + Тs. Здесь Ф представляет ту часть энтальпии, которая может быть преобразована в работу, т.е. работа здесь может быть совершена за счет убыли Ф. Ts - связанная энергия в работу не превращается. Кроме того, что рассмотренные потенциалы характеризуют равновесие систем, они являются так же, как и u, h, s, характеристическими функциями. ©2015 arhivinfo.ru Все права принадлежат авторам размещенных материалов.
|