Истечение и дросселирование газов и паров
10.1 Истечение газов. Основные понятия и математическое описание В настоящее время исключительно большое развитие получили различного рода лопаточные машины (паровые и газовые турбины, турбокомпрессоры и турбодетандеры), а также реактивные двигатели и т.д. Работа всех этих агрегатов связана с движением рабочего тела по каналам переменного сечения. В соответствии с существующей технической терминологией каналы, в которых движется рабочее тело (газ или пар), носят название сопел и диффузоров. Сопло - это канал, в котором потенциальная энергия потока превращается в кинетическую, т.е. канал, в котором скорость потока растет. Диффузор - канал, обеспечивающий торможение потока газа (или пара), сжатие рабочего тела, т.е. канал, в котором скорость потока уменьшается. При рассмотрении первого закона термодинамики было установлено уравнение первого закона для потока газа , (10.1) где w - скорость движения рабочего тела. В термодинамике принято считать течение рабочего тела по каналу адиабатным (dq = 0). Тогда уравнение (10.1) принимает вид dw2/2 = - dh, а поскольку dw2/2 = wdw, то получим wdw = - dh. (10.2) Для обратимого процесса истечения газа одновременно с уравнением (10.1) сохраняет силу уравнение (2.20) dq = dh - udp, которое при dq = 0 принимает вид dh = udp. (10.3) Тогда уравнение (10.2) с учетом (10.3) принимает вид wdw - udp. (10.4) Из уравнения (10.4) следует, что увеличение скорости движения сопровождается понижением давления газа и наоборот. Уравнение (10.4) представим в следующем виде: разделим обе его части на w2, а числитель и знаменатель правой части умножим на произведение к × р, где к - показатель адиабаты: . (10.5) Как известно из физики, местная скорость звука в газе , имеющем параметры p и u: . (10.6) При исследовании течений газа принято скорость движения относить к местной скорости звука; это отношение называют числом Маха (Ма). . (10.7) Если Ма < 1, то скорость истечения называют дозвуковой, если Ма > 1 - сверхзвуковой. С учетом (10.6) и (10.7) уравнение (10.5) запишется так: . (10.8) Уравнение (10.8) называют уравнением Вулиса. Пусть через поперечное сечение канала площадью f проходит газ со скоростью w. Удельный объем в этом сечении u. При установившемся движении газа, когда не происходит разрыва струи, через каждое поперечное сечение канала в единицу времени протекает одинаковое массовое количество газа Y. . (10.9) Отсюда Y × u = f w. (10.10) Продифференцировав выражение (10.10) при Y= const, получим Ydu = fdw + wdf. (10.11) Поделив (10.11) на выражение (10.10), получим уравнение сплошности . (10.12) Прологарифмировав уравнение адиабаты puк = const, получим . (10.13) Подставив (10.13) в уравнение (10.12) и умножив на - к, получим . (10.14) Подставляя (10.14) в уравнение (10.8), получим . (10.15) Знак разности (Ма2 - 1) зависит от того, движется ли газ с дозвуковой или сверхзвуковой скоростью. При Ма = 1 газ имеет скорость равную местной скорости звука (w = а). В этом случае (Ма2 - 1) = 0. При движении со скоростью меньше скорости звука Ма < 1 (w < a) и (Ма2-1) < 0. При сверхзвуковой скорости Ма > 1(w > a) и (Ма2-1) > 0. Анализ уравнения (10.15) позволяет выяснить профиль канала в зависимости от начальной скорости газа и знака изменения скорости. Пусть ставится задача выяснить профиль сопла, т.е. нужно создать ускоренное движение газа (dw > 0) и вначале При Ма > 1 при ускоренном движении Пусть теперь ставится задача выяснить профиль диффузора, т.е. нужно создать замедленное движение (dw < 0). Если вначале газ движется со сверхзвуковой скоростью Ма > 1, то в правой части уравнения (10.15) получим отрицательный знак Как видно, в обоих случаях при Ма = 1 df = 0 и поперечное сечение канала является минимальным. В нем скорость движения газа становится равной скорости звука и здесь происходит, как говорят, кризис течения газа, отсюда все величины, относящиеся к этому сечению: wкр, ркр, uкр , называются критическими. Таким образом, как сопла, так и диффузоры могут быть суживающимися и расширяющимися. В каждом отдельном случае профиль сопла или диффузора определяется величиной числа Ма. Адиабатное истечение из суживающегося сопла. Пусть в резервуаре, размеры которого достаточно большие, находится газ, вытекающий через суживающееся сопло. Обозначим параметры газа в резервуаре через p1, u1, Т1 Интегрируя выражение (10.4) в пределах для w между w1 = 0 (ввиду малости w1 в сравнении с w2) и w2 = w и для давления между р1 и р2 получим , (10.16) где l¢ - техническая работа при адиабатном расширении. Подставив в (10.16) значение технической работы l¢ по уравнению (4.26), получим выражение для скорости истечения . (10.17) Скорость истечения w можно найти также из выражения (10.2). Интегрируя это уравнение в пределах от w1 = 0 до w2 = w и от h1 до h2, получим . (10.18) Из уравнения (10.18) можно заключить, что кинетическая энергия газа, вытекающего из сопла, определяется разностью энтальпий начального и конечного состояний газа при его обратимом адиабатном расширении. Из уравнения (10.18) имеем , (10.19) где w в м/с, если h1 и h2 в Дж/кг. Так как в таблицах энтальпия газа обычно приводится в кДж/кг, то формулу (10.19) записывают в виде , (10.20) где h1 и h2 в кДж/кг, a w в м/с. Массовый расход газа через сопло найдем по выражению (10.9), которое запишем в следующем виде: , (10.21) где f - площадь выходного сечения (устья) сопла; u2 - удельный объем газа в выходном сечении. Из связи параметров в адиабатном процессе имеем или . (10.22) Подставляя (10.17) и (10.22) в уравнение (10.21) получим . (10.23) Обозначая b = р2/р1 и подставляя b в (10.17) и (10.23), запишем выражения для скорости и массового расхода . (10.24) . (10.25) Критическая скорость и максимальный расход газа. Рассмотрим, как изменяется расход Y газа через сопло, если начальное давление р1 остается постоянным, а давление среды р2 принимает различные значения. Построим диаграмму этого изменения в координатах Y - b (рис. 10.4). Пусть р2 = р1, т.е. b = 1, тогда из уравнения (10.25) следует, что Y = 0. Т.е. в том случае, когда давление в среде, куда должно происходить истечение, равно давлению входа в сопло, никакого истечения не происходит, что вполне понятно. Допустим р2 = 0, т.е. При подстановке в уравнение (10.25) промежуточных значений b между 0 и 1 получим кривую 1-2-0 (рис.10.4). Как показано на рисунке, при уменьшении р2, а следовательно, и b, расход газа сначала увеличивается и при b » 0,5 достигает максимума, после чего начинает падать и при b = 0 становится равным 0. Опыт показывает, что расход газа в правой половине диаграммы совпадает с получаемым по уравнению (10.25), т.е. поднимаемся по кривой 1-2, при дальнейшем понижении р2 (а следовательно, и b) расход газа остается постоянным и максимальным, т.е. идет по линии 2-3. Максимальному расходу соответствует в устье сопла критическое давление, при котором скорость истечения Характер реальной кривой расхода 1-2-3 (рис.10.4) объясняется следующим. При давлении среды р2 > ркр давление в устье сопла руст = р2. Когда давление среды р2 понизится до ркр, давление в устье руст = ркр. При дальнейшем понижении давления среды р2 < ркр давление в устье сопла остается постоянным, равным руст = ркр. Формулу (10.25) можно считать правильной и для левой половины рис. 10.4, если понимать в ней под р2 не давление окружающей среды, а давление в устье сопла. Невозможность, начиная с определенного момента, дальнейшего понижения давления в устье суживающегося сопла объясняется характером распространения изменения давления в газовой среде. Всякое изменение давления, произведенное в какой-либо точке неподвижной газовой среды, распространяется со скоростью звука в данной среде. Рассмотрим с этой точки зрения явление истечения газа. Так как распространение изменения давления происходит в движущейся среде, т.е. в вытекающей из сопла струе газа, надо различать абсолютную скорость распространения волны пониженного давления и относительную скорость. Если в среде, куда происходит истечение газа, понизить давление до некоторого значения р2, то волна пониженного давления в вытекающей струе будет распространяться с абсолютной скоростью, равной скорости звука а. Относительная скорость волны пониженного давления, относительно неподвижного сопла, будет равна разности скоростей звука и движения струи: а - w (рис.10.5). При уменьшении р2 и b эта разность будет становиться все меньше, т.к. w будет увеличиваться. Наконец наступит момент, когда а - w = 0. В этом случае в устье сопла установится скорость w = wкр = а. А давление р2 в этом случае будет равно ркр, которое устанавливается в устье сопла. Если понижать давление в среде р2 дальше, ниже критического, то распространяясь в среде со скоростью звука, волна пониженного давления подойти к устью сопла не сможет, т.к. в последнем будет газ, вытекающий также со скоростью звука. Выходящая из сопла струя, попадая в среду с меньшим давлением, будет расширяться уже в самой среде. Таким образом, в суживающемся сопле нельзя получить скорость больше скорости звука. Найдем максимальный расход Ymax и соответствующую ему критическую скорость wкр. Значение bкр, при котором устанавливается максимальный секундный расход и критическая скорость (в соответствии с правилами отыскания экстремума), может быть получено, если взять в формуле (10.25) первую роизводную от выражения в скобках и приравнять ее нулю, то есть. Продифференцировав, получим . Поделив последнее выражение на b(2-к)/к и производя некоторые преобразования, получим . (10.26) Из выражения (10.26) видно, что bкр целиком определяется значением показателя адиабаты к , т.е. физическими свойствами вытекающего газа. Так, при к = 1,4 bкр = 0,528. Подставив в выражения (10.24) и (10.25) значение bкр по (10.26), получим формулы для определения wкр и Ymax. ; (10.27) . (10.28) Для скорости wкр можно также записать, согласно уравнению (10.20): . (10.29) Таким образом, при истечении газа из суживающегося сопла следует различать три случая: 1) 1 > b > bкр. В этом случае скорость истечения и расход зависят от отношения р2/р1 и определяются по формулам (10.17) и (10.23). Здесь весь перепад давления от р1 до р2 используется на увеличение кинетической энергии газа; 2) b = bкр. В этих условиях секундный расход достигает максимального значения. Давление р2 = ркр, а скорость w = wкр. Скорость и расход определяются по формулам (10.27) и (10.28); 3) bкр > b > 0. В этом случае, Y достигнув своего максимального значения при b = bкр, дальше не увеличивается, скорость также остается постоянной, равной wкр. Yи w здесь, как и в предыдущем случае, определяются по формулам (10.28) и (10.27), то есть в этом случае для увеличения кинетической энергии газа используется не весь перепад давлений - от р1 до р2, а только часть его - от р1 до ркр. Если в среде, куда происходит истечение, давление ниже критического, то понизить давление на выходе из сопла до этого давления можно, как это было показано ранее, присоединением к суживающемуся соплу расширяющейся части, в которой и происходит требующееся для увеличения скорости падение давления ниже критического. Такое сопло впервые предложил шведский инженер Лаваль. Оно имеет вид, изображенный на рис. 10.6, и носит его имя (сопло Лаваля). Скорость на выходе из сопла Лаваля определяется по формуле (10.17), а расход по формуле (10.23), в которой под f надо понимать fвых, т.е (10.30) С другой стороны, расход может быть подсчитан по формуле (10.28), т.е.. (10.31) Несмотря на то, что w > wкр, расход газа остается постоянным, равным Ymax. Обычно расчет сопла Лаваля проводится по заданному расходу газа Y и параметрам р1 и u1 на входе, задается также давление среды р2. Тогда из формул (10.30) и (10.31) можно подсчитать ; (10.32) и . (10.33) Если взять отношение fвых/fmin, то получим . (10.34) Задаваясь различными значениями давления р2 по формуле (10.34), можно вычислить соответствующую этому давлению площадь поперечного сечения сопла, то есть эта формула позволяет решить вопрос о профилировании сопла. Если допустить, что расширяющаяся часть сопла Лаваля выполнена с прямолинейными образующими и углом конусности a, то длина этой части сопла (рис. 10.7) найдется по формуле . Однако следует помнить, что в сопле Лаваля можно получить w > wкр лишь в том случае, если р2/р1 < bкр. Если же р2/р1 > bкр, то в fmin сопла w < wкр, а расширяющаяся часть ведет себя как диффузор. Комбинированное сопло начинает работать как диффузор и в том случае, если скорость газа на входе в сопло больше скорости звука. ©2015 arhivinfo.ru Все права принадлежат авторам размещенных материалов.
|