 |
|
Задачі до розділу 1
1. У гаманці лежать три монети вартістю по 25 коп і п'ять монет по 50 коп. Навмання витягається одна монета, а потім – друга, котра виявляється вартістю 50 коп. Знайти ймовірність того, що й перша монета має вартість 50 коп.
Розв’язування
Порядок витягання монет у цьому випадку не має значення. Тому після того, як стало відомо, що з гаманця витягнуто монету 50 коп, загальна кількість рівноймовірних несумісних виходів дорівнює 7, з них сприятливих – 4. Тому шукана ймовірність P(A) = 4/7.
Відповідь : 4/7.
2. В урну поклали 
білих і 
чорних куль. З неї навмання відібрано 
куль 
. Знайти ймовірність того, що серед них рівно p білих 
та 
.
Розв’язування
Насамперед, відзначимо, що всього в урні 
куль, а серед відібраних 
чорних куль. Відібрати куль із можна 
способами. Отже, загальне число рівноймовірних несумісних виходів випробування 
. Сприятливі виходи такі: коли 
білих куль відбираються з наявних 
штук білих (це можна зробити 
способами), а решта чорних куль відбираються з наявних чорних куль (це можна зробити 
способами). Тому кількість сприятливих виходів 
. Шукана ймовірність 
.
Відповідь : 
.
3. Нехай маємо партію деталей кількістю 1000 штук, причому відомо, що серед них 20 бракованих. Результати контролю показали, що перші 30 деталей виявились якісними. Знайти ймовірність того, що наступна деталь, яка перевірятиметься, також виявиться якісною.
Відповідь: 95/97.
4. Визначити ймовірність того, що в обраному навмання цілому числі N кінчається одиницею результат піднесення :
а) у квадрат;
б) у четвертий ступінь.
Відповідь: а) 0,2 ; б) 0,4.
5. Маємо п'ять відрізків, довжини яких відповідно дорівнюють 1, 3, 5, 7 і 9 одиниць. Знайти ймовірність того, що за допомогою трьох навмання взятих відрізків із цих п'яти можна побудувати трикутник.
Відповідь: 0,3.
6. Команди спортсменів кількістю 2n,що беруть участь у змаганнях, розбито на дві підгрупи по n команд у кожній. Знайти ймовірність того, що дві найбільш сильні команди виявляться: а) у різних підгрупах; б) в одній підгрупі.
Відповідь: а) 
; б) 
.
7. Під час перевезення залізницею 
виробів першого типу й виробів другого типу отримано інформацію про те, що в дорозі було пошкоджено два вироби. Знайти ймовірність того, що пошкоджено вироби різних типів.
Відповідь: 
.
8. На площину, обмежену прямокутником, сторони якого дорівнюють відповідно 40 і 30 см, навмання кинуто точку, що є центром кола радіусом 10 см. Знайти ймовірність того, що коло не вийде за межі прямокутника.
Відповідь: 1/6.
9. Два пароплави повинні підійти до одного й того самого причалу. Час приходу обох пароплавів незалежно й рівноймовірно розподілено протягом даної доби. Знайти ймовірність того, що одному з пароплавів доведеться очікувати звільнення причалу, якщо час стоянки першого пароплава становить одну годину, а другого – дві години.
Відповідь: 0,121.
10. На збагачувальну фабрику за зміну прибуває 10 поїздів, навантажених рудою, у тому числі 7 поїздів прибуває з кар'єру і 3 – із шахт. Знайти ймовірність того, що з 4 перших прибулих поїздів рівно 3 привезуть руду з кар'єрів.
Відповідь: 0,5.
11. Дитина, що не вміє читати, грає десятьма буквами розрізної азбуки: п, о, о, о, г, с, д, а, с, р, т. Знайти ймовірність того, що вона випадково складе слово «господарство».
Відповідь: 12/11! = 0,3∙10-6.
12. Токар має 10 свердел, з яких 3 титанових. Під час роботи він використав 3 свердла. Знайти ймовірність того, що серед них не було титанових.
Відповідь: 7/24.
13. З кар'єру в довільному порядку одна за одною виїжджають 7 вантажних автомашин. З них 3 завантажувались у вибої № 1 і 4 – у вибої № 2. Знайти ймовірність того, що другою по порядку вийде вантажівка із вибою № 2, якщо першою виїхала вантажівка з вибою № 1.
Відповідь: 2/6.
14. Студент знає 22 із 30 питань програми. Знайти ймовірність того, що він відповість: a) рівно на два із запропонованих йому трьох питань;
б) хоч би на одне із даних йому трьох питань;
в) він відповість на три поставлені питання.
Відповідь: a) 0,455; б) 0,986 в) 0,379.
15. У партії кількістю 20 магнітних сепараторів є 3 бракованих вироби. Визначити ймовірність того, що при перевірці наздогад чотирьох магнітних сепараторів бракованих і якісних буде порівну.
Відповідь: 0,084.
16. У групі з 30 студентів 7 відмінників. Із списку навмання відібрано 10 студентів. Знайти ймовірність того, що серед відібраних виявиться рівно два відмінники.
Відповідь: 0,343.
17. У ящик покладено 12 однакових шестерень, помічених номерами від 1 до 12. Наздогад з ящика витягають 6 шестерень. Знайти ймовірність того, що серед них будуть деталі № 8 і № 9.
Відповідь: 5/22.
18. Викладач викликав через старосту на консультацію трьох студентів з 6 невстигаючих. Староста забув прізвища студентів, яких викликав викладач, і направив до нього наздогад трьох відстаючих студентів. Яка ймовірність того, що всі направлені старостою студенти, були викликані?
Відповідь: 0,05.
19. Дитина, що не вміє читати, грає буквами розрізної азбуки: с, м, а, у, г, а, у, у. Знайти ймовірність того, що поклавши в ряд 5 букв, вона отримає слово «смуга».
Відповідь: 0,00089.
20. У шахті є 15 вугільних комбайнів, пронумерованих від 1 до 15. Слюсар вибірково перевірив 8 комбайнів для визначення міри зношування елементів виконавчих органів. Знайти ймовірність того, що серед перевірених були комбайни під номерами 3 і 14.
Відповідь: 4/15.
21. На картках написано перші 10 букв алфавіту. Відбирають по одній 5 карток і, викладаючи їх в порядку відбору, складають слово. Знайти ймовірність того, що: a) отримано слово, в якому немає букв «а», «в»; б) слово закінчиться на букву «а»
Відповідь: a) 2/9; б) 0,1.
22. Кидають два кубики. Знайти ймовірність того, що хоч би на одному з них з'явиться цифра «6».
Відповідь: 11/36.
23. Цифри 1, 2, … 9 записуються у випадковому порядку. Знайти ймовірність того, що на непарних місцях стоятимуть непарні цифри.
Відповідь: 0,0079.
24. З партії в 10 виробів, серед яких 6 бракованих, беруть 4 вироби для контролю. Знайти ймовірність того, що серед них: а) не буде бракованих; б) буде рівно 3 бракованих.
Відповідь: а) 1/210; б) 8/21.
25. Наздогад вибирають п'ятизначне число. Яка ймовірність того, що воно:
а) буде парним; б) складається з непарних цифр; в) складається з різних цифр; г) читається однаково зліва направо і справа наліво.
Відповідь: а) 0,5 ; б) 0,0347 ; в) 0,3024; г) 0,01.