Теореми множення ймовірностей
Подія В називається залежною від події А, якщо її ймовірність змінюється залежно від того, відбулася подія А чи ні. Імовірність події В, за умови, що відбулася подія А, називається умовною ймовірністю події В та позначається як Р(В/А) або РА(В). Наприклад, розглянемо таке випробування: нехай в урну покладено n чорних та m білих куль. З неї послідовно виймають дві кулі. Розглянемо такі події: А – поява першою білої кулі, В – поява другою білої кулі. Якщо подія А відбулася, тобто з урни першою витягли білу кулю , то ймовірність події В буде становити , тобто . Якщо подія А не відбулася , тобто з урни першою витягли чорну кулю, то ймовірність події В дорівнює . Таким чином, події А та В залежні. Події А та В називають незалежними, якщо ймовірність появи однієї з них не залежить від того, відбулася інша подія чи ні . Мають місце такі теореми: Т е о р е м а 2.2. Імовірність добутку незалежних подій дорівнює добутку ймовірностей цих подій, а саме: Т е о р е м а 2.3. Ймовірність добутку залежних подій дорівнює добутку ймовірності першої події та умовної ймовірності другої, тобто , де Р(А/В)– імовірність події В, за умови, що подія А вже відбулась. Ці теореми можуть бути узагальнені й для випадку, коли число подій більше від двох. Для незалежних подій . Для залежних подій .
П р и к л а д 2.6. В урні лежать 2 білих і 3 чорних кулі. Виймають підряд 2 кулі. Знайти ймовірність того, що кулі будуть чорними. Р о з в ’ я з у в а н н я Розглянемо події А1 – перша куля чорна та А2 – друга куля чорна. Події А1 та А2 залежні (див. приклад ), тому Відповідь: 0,3.
П р и к л а д 2.7. Знайти ймовірність появи двох шісток при киданні двох гральних кубиків. Р о з в ’ я з у в а н н я Розглянемо події: А – випала шістка при першому киданні кубика, В – випала шістка при другому киданні. Події А та В незалежні, тому . Відповідь: 1/36.
Т е о р е м а 2.4. Імовірність появи хоча б однієї з подій А1, А2, … Аn дорівнює різниці між одиницею та добутком імовірностей протилежних подій , а саме:
П р и к л а д 2.8. Відомі ймовірності влучення в ціль при стрільбі кожної з трьох гармат відповідно: р1= 0,9, р2= 0,8, р3= 0,6. Знайти ймовірність принаймні одного влучення в ціль при залпі з трьох гармат. Р о з в ’ я з у в а н н я Позначимо події таким чином В – принаймні одне влучення, А1 – влучення в ціль пострілом першої гармати, А2 – влучення пострілом другої гармати, А3 – влучення пострілом третьої гармати. Тоді ймовірності промахів відповідно обчислюються таким чином: А ймовірність того, що всі три гармати не влучать у ціль, Відповідно, ймовірність хоча б одного влучення в ціль (згідно з теоремою 2.4) буде такою: Відповідь: 0,992.
©2015 arhivinfo.ru Все права принадлежат авторам размещенных материалов.
|